G13 - Piramida

Piramida

O piramidă pornește de la o singură bază poligonală și un vârf aflat în afara planului bazei. Fiecare latură a bazei împreună cu vârful formează o față laterală triunghiulară. Pentru calcule, trebuie să separi trei lungimi care pot apărea în aceeași figură: înălțimea piramidei, muchia laterală și, la o piramidă regulată, apotema.

Elementele piramidei

Baza este un poligon, iar toate fețele laterale sunt triunghiuri care au un vârf comun: vârful piramidei. Segmentele dintre vârful piramidei și vârfurile bazei sunt muchii laterale.

Înălțimea piramidei este perpendiculara dusă din vârf pe planul bazei. La o piramidă dreaptă, piciorul acestei înălțimi este centrul bazei. Dacă baza este regulată, piramida dreaptă este piramidă regulată.

Apotema și aria laterală

La piramida regulată, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. Înălțimea unei astfel de fețe, dusă din vârful piramidei, se numește apotema piramidei.

Când adunăm ariile tuturor fețelor laterale, apare formula \(A_l=\displaystyle\frac12 P_b l\), unde \(P_b\) este perimetrul bazei, iar \(l\) este apotema. Aria totală se obține adăugând aria bazei.

Volumul piramidei

O piramidă cu aceeași bază și aceeași înălțime ca o prismă ocupă o treime din volumul acelei prisme. De aceea volumul este \(V=\displaystyle\frac13 A_bh\).

În probleme, înălțimea \(h\) nu este întotdeauna dată. La piramide regulate, ea poate fi găsită prin Pitagora într-un triunghi dreptunghic format de vârf, centrul bazei și un punct potrivit de pe bază.

Definiție esențială. O piramidă are o bază poligonală, un vârf în afara planului bazei și fețe laterale triunghiulare. Înălțimea este perpendiculara din vârf pe planul bazei.
De reținut.
  • Piramidă regulată: \(A_l=\displaystyle\frac12 P_b l\).
  • Aria totală: \(A_t=A_l+A_b\).
  • Volumul oricărei piramide: \(V=\displaystyle\frac13 A_bh\).

Exemplu rezolvat

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei \(6\) cm, apotema \(5\) cm și înălțimea \(4\) cm. Determină aria laterală, aria totală și volumul.

  1. Baza este pătrat: \(P_b=4\cdot6=24\) cm și \(A_b=6^2=36\text{ cm}^2\).
  2. Aria laterală este \(A_l=\displaystyle\frac12\cdot24\cdot5=60\text{ cm}^2\).
  3. Aria totală este \(A_t=60+36=96\text{ cm}^2\).
  4. Volumul este \(V=\displaystyle\frac13\cdot36\cdot4=48\text{ cm}^3\).

Concluzie: \(A_l=60\text{ cm}^2\), \(A_t=96\text{ cm}^2\), \(V=48\text{ cm}^3\).

Greșeală frecventă. Apotema piramidei nu este înălțimea piramidei. Apotema se află într-o față laterală; înălțimea piramidei este perpendiculară pe planul bazei.

Verificare rapidă

  • Câte baze are o piramidă?
    Vezi răspunsul

    O singură bază.

  • Ce formă au fețele laterale?
    Vezi răspunsul

    Triunghiuri cu un vârf comun în vârful piramidei.

  • În formula volumului apare apotema sau înălțimea?
    Vezi răspunsul

    Înălțimea piramidei: \(V=\displaystyle\frac13A_bh\).

Exerciții

1
Cum se numește segmentul perpendicular din vârful unei piramide pe planul bazei?
2
O piramidă patrulateră regulată are perimetrul bazei \(20\) cm și apotema \(6\) cm. Determină aria laterală.
3
O piramidă are aria bazei \(45\text{ cm}^2\) și înălțimea \(8\) cm. Determină volumul.
4
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei \(8\) cm și apotema \(5\) cm. Determină aria laterală.
5
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei \(6\) cm, apotema \(5\) cm și înălțimea \(4\) cm. Determină aria totală și volumul.
6
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei \(10\) cm și muchia laterală \(13\) cm. Determină apotema.
7
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei \(10\) cm și muchia laterală \(13\) cm. Determină aria laterală.
8
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei \(8\) cm și înălțimea \(3\) cm. Determină apotema.
9
Volumul unei piramide este \(200\text{ cm}^3\), iar aria bazei este \(75\text{ cm}^2\). Determină înălțimea.

\(V=\displaystyle\frac13A_bh\)

10
O piramidă patrulateră regulată are aria bazei \(144\text{ cm}^2\) și înălțimea \(8\) cm. Determină aria totală.

\(A_l=\displaystyle\frac12P_bl,\quad A_t=A_l+A_b\)

Înapoi Următor