G09 - Aria trapezului

Aria trapezului

Trapezul are două laturi paralele numite baze. Aria lui depinde de media aritmetică a bazelor și de înălțime; aceasta explică de ce linia mijlocie a trapezului apare natural în formulă.

1. Baze și înălțime

Notăm bazele cu \(B\) și \(b\), iar înălțimea cu \(h\). Înălțimea este distanța perpendiculară dintre dreptele care conțin bazele.

Prin alăturarea a două trapeze congruente se poate obține un paralelogram cu baza \(B+b\) și înălțimea \(h\). De aici rezultă aria unui singur trapez.

2. Formula ariei

Aria este \(A=\displaystyle\frac{(B+b)h}{2}\). Cum linia mijlocie are lungimea \(m=\displaystyle\frac{B+b}{2}\), aceeași formulă se scrie \(A=m h\).

Această a doua formă este foarte utilă când problema dă direct linia mijlocie.

3. Trapeze particulare

Într-un trapez dreptunghic, una dintre laturile laterale este înălțime. Într-un trapez isoscel, coborârea înălțimilor din baza mică produce două triunghiuri dreptunghice congruente, utile pentru aflarea înălțimii sau a laturilor.

De reținut.
  • \(A=\displaystyle\frac{(B+b)h}{2}\).
  • Linia mijlocie: \(m=\displaystyle\frac{B+b}{2}\), deci \(A=mh\).
  • Înălțimea este perpendiculară pe baze.

Exemplu explicat pas cu pas

Un trapez are bazele 14 cm și 8 cm și înălțimea 5 cm. Află aria.

  1. Adunăm bazele: \(14+8=22\) cm.
  2. Calculăm media bazelor: \(22/2=11\) cm.
  3. Înmulțim cu înălțimea: \(A=11\cdot5=55\,cm^2\).

Concluzie: Aria este \(55\,cm^2\).

Greșeală frecventă. Nu înmulți suma bazelor direct cu înălțimea fără împărțirea la 2. Două trapeze congruente formează paralelogramul complet; un singur trapez are jumătate din acea arie.

Verificare rapidă

  • Ce este linia mijlocie a trapezului?
    Vezi răspunsul

    Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele; lungimea lui este media aritmetică a bazelor.

  • Cum scrii aria în funcție de \(m\) și \(h\)?
    Vezi răspunsul

    \(A=mh\).

  • Ce latură este înălțime într-un trapez dreptunghic?
    Vezi răspunsul

    Latura laterală perpendiculară pe baze.

Exerciții

1
Un trapez are bazele 10 cm și 6 cm, înălțimea 4 cm. Află aria.

\(A=\displaystyle\frac{(B+b)h}{2}\)

2
Un trapez are linia mijlocie 9 cm și înălțimea 5 cm. Află aria.
3
Bazele unui trapez sunt 12 cm și 8 cm. Află linia mijlocie.
4
Un trapez are aria 60 cm² și linia mijlocie 12 cm. Află înălțimea.
5
Un trapez are aria 72 cm², înălțimea 6 cm și baza mică 8 cm. Află baza mare.
6
Un trapez dreptunghic are bazele 7 cm și 13 cm, iar latura perpendiculară pe baze este 4 cm. Află aria.
7
Într-un trapez isoscel, bazele sunt 18 cm și 10 cm, iar latura laterală 5 cm. Află înălțimea.
8
Pentru trapezul isoscel cu bazele 18 și 10 cm și latura 5 cm, află aria.
9
Două trapeze au aceeași înălțime 6 cm și aceeași sumă a bazelor 20 cm. Compară ariile.
10
Un trapez are bazele în raport 2:3, înălțimea 8 cm și aria 100 cm². Află bazele.
Înapoi Următor