G03 - Cercul — Recapitulare și completări

Cercul — Recapitulare și completări

Cercul este locul geometric al punctelor din plan aflate la aceeași distanță de un centru. Din această definiție se construiesc noțiunile de rază, coardă, diametru, disc, tangentă și pozițiile relative ale unei drepte față de cerc.

1. Elemente ale cercului

Cercul \(C(O,R)\) este mulțimea punctelor \(M\) cu \(OM=R\). O coardă unește două puncte ale cercului, iar diametrul este coarda care trece prin centru și are lungimea \(2R\). Discul include cercul și interiorul lui.

Distanța de la centru la o coardă este măsurată pe perpendiculara dusă din centru. O perpendiculară din centru pe o coardă o înjumătățește; reciproc, dreapta care trece prin centru și mijlocul unei coarde este perpendiculară pe coardă.

2. Dreaptă și cerc

Poziția unei drepte față de cerc se decide comparând distanța \(d\) de la centru la dreaptă cu raza \(R\): pentru \(dR\) dreapta este exterioară.

Raza dusă la punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Dintr-un punct exterior, cele două segmente tangente la același cerc sunt congruente.

3. Unghiuri la centru și arce

Un unghi la centru are vârful în centrul cercului, iar măsura lui este legată direct de arcul pe care îl subîntinde. Această legătură pregătește lecția despre unghiurile înscrise.

Definiție esențială. Cercul \(C(O,R)\) este mulțimea punctelor \(M\) din plan pentru care \(OM=R\).
De reținut.
  • Diametrul are lungimea \(2R\).
  • Tangenta este perpendiculară pe raza dusă la punctul de tangență.
  • Dacă distanța de la centru la dreaptă este mai mică/egală/mai mare decât raza, dreapta este secantă/tangentă/exterioară.

Exemplu explicat pas cu pas

Un cerc are raza 5 cm, iar distanța de la centru la o dreaptă este 3 cm. Ce poziție are dreapta?

  1. Comparăm distanța \(d=3\) cu raza \(R=5\).
  2. Avem \(3<5\), deci dreapta trece prin interiorul discului.
  3. O dreaptă care intersectează cercul în două puncte este secantă.

Concluzie: Concluzie: dreapta este secantă.

Greșeală frecventă. Nu decide poziția unei drepte după aspectul desenului. Compară numeric distanța de la centru la dreaptă cu raza.
Cerc, rază și tangentăRaza OT este perpendiculară pe tangenta în T. OT Rtangentă
În punctul de tangență, raza este perpendiculară pe tangentă.

Verificare rapidă

  • Ce lungime are diametrul unui cerc de rază 7?
    Vezi răspunsul

    Diametrul este \(2R=14\).

  • Ce unghi formează raza cu tangenta în punctul de tangență?
    Vezi răspunsul

    Un unghi drept, de \(90^\circ\).

  • Câte puncte comune are o secantă cu cercul?
    Vezi răspunsul

    Două puncte comune.

Exerciții

1
Un cerc are raza 6 cm. Află diametrul.
2
Un cerc are diametrul 18 cm. Află raza.
3
Distanța de la centrul unui cerc de rază 4 cm la o dreaptă este 4 cm. Ce este dreapta?
4
Distanța de la centru la o dreaptă este 7 cm, iar raza cercului este 5 cm. Câte puncte comune au dreapta și cercul?
5
O coardă AB are lungimea 16 cm, iar perpendiculara din centru O o intersectează în M. Află AM.
6
Raza \(OT\) ajunge în punctul de tangență T. Ce măsură are unghiul dintre \(OT\) și tangentă?
7
Din punctul exterior P sunt duse tangentele PA și PB la același cerc. Dacă PA=11 cm, află PB.
8
O coardă AB are 12 cm, raza este 10 cm, iar \(OM\perp AB\). Află \(OM\).

\(\displaystyle În triunghi dreptunghic: \(c^2=a^2+b^2\).\)

9
Un punct P este la 13 cm de centrul unui cerc de rază 5 cm. Lungimea tangentei PT?
10
Două coarde ale aceluiași cerc sunt la aceeași distanță de centru. Ce poți spune despre lungimile lor?
Înapoi Următor