A17 - Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor și/sau sistemelor de ecuații

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor și/sau sistemelor de ecuații

Într-o problemă aplicată, partea dificilă nu este de obicei calculul, ci traducerea corectă a textului în relații matematice. O soluție bună explică ce reprezintă necunoscutele, de unde provin ecuațiile și de ce răspunsul obținut este compatibil cu situația reală.

1. Alegerea necunoscutei

Notăm prin necunoscute mărimile care trebuie determinate. Alegerea este eficientă dacă celelalte cantități pot fi exprimate simplu în funcție de ele.

Pentru „un număr este cu 5 mai mare decât altul”, dacă numărul mic este \(x\), cel mare este \(x+5\). Pentru „de două ori mai mare”, în problemele școlare exprimarea se traduce de regulă prin dublu, \(2x\), dacă textul nu indică alt sens.

2. Construirea relațiilor

Fiecare propoziție relevantă devine o egalitate sau un sistem. Unitățile trebuie aduse la aceeași formă înainte de scrierea relațiilor.

În probleme geometrice, relația poate proveni din perimetru, arie sau teorema lui Pitagora; în probleme de mișcare din \(d=v\cdot t\); în probleme de amestec din cantități și procente.

3. Interpretarea soluției

Ecuația poate avea soluții care nu sunt admisibile în context: o lungime trebuie să fie pozitivă, un număr de obiecte trebuie să fie natural, un timp nu poate fi negativ. De aceea ultima etapă este întoarcerea la textul problemei.

De reținut.
  • Definește necunoscutele în cuvinte și cu unități.
  • Scrie relațiile din datele problemei, nu din ceea ce ai vrea să rezulte.
  • După rezolvare, verifică matematic și interpretează în context.

Exemplu explicat pas cu pas

Suma a două numere este 30, iar unul este cu 6 mai mare decât celălalt. Află numerele.

  1. Notăm numărul mai mic cu \(x\); celălalt este \(x+6\).
  2. Condiția sumei dă \(x+(x+6)=30\).
  3. Rezolvăm: \(2x+6=30\Rightarrow2x=24\Rightarrow x=12\).
  4. Numărul mai mare este \(18\); verificare: \(12+18=30\) și diferența este 6.

Concluzie: Numerele sunt \(12\) și \(18\).

Greșeală frecventă. Nu scrie ecuația înainte de a spune ce reprezintă necunoscuta. O formulă corectă algebric poate modela greșit situația dacă mărimile au fost definite neclar.

Verificare rapidă

  • Ce verifici dacă necunoscuta reprezintă un număr de elevi?
    Vezi răspunsul

    Că soluția este un număr natural și are sens în context; nu poți avea un număr fracționar sau negativ de elevi.

  • Cum traduci „cu 7 mai mic” dacă valoarea de referință este \(x\)?
    Vezi răspunsul

    \(x-7\).

  • Ce etapă urmează după rezolvarea ecuației?
    Vezi răspunsul

    Verificarea soluției în condițiile problemei și formularea răspunsului în context.

Exerciții

1
Suma a două numere este 42, iar al doilea este cu 8 mai mare decât primul. Află numerele.
2
Perimetrul unui dreptunghi este 34 cm, iar lungimea este cu 5 cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile.
3
Trei caiete identice și un pix de 7 lei costă 31 lei. Cât costă un caiet?
4
Un număr de două cifre are suma cifrelor 11, iar cifra zecilor este cu 3 mai mare decât cifra unităților. Află numărul.
5
La un spectacol s-au vândut 120 de bilete, unele cu 50 lei și altele cu 80 lei, încasându-se 7800 lei. Câte bilete din fiecare tip s-au vândut?
6
O mașină parcurge 180 km cu viteza constantă de 60 km/h. Cât durează drumul?

\(d=v\cdot t\)

7
Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi consecutive, iar ipotenuza este 5. Află catetele.

\(a^2+b^2=c^2\)

8
Produsul a două numere pozitive consecutive este 72. Află numerele.
9
O sumă de 1000 lei este împărțită între două persoane astfel încât prima primește de 1,5 ori cât a doua. Cât primește fiecare?
10
Un dreptunghi are aria 96 cm², iar lungimea este cu 4 cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile.
Înapoi Următor