A11 - Rădăcinile polinoamelor

Rădăcinile polinoamelor

Rădăcinile unui polinom sunt valorile care îl fac zero. Ele leagă trei perspective echivalente: calculul valorii \(P(\alpha)\), rezolvarea ecuației \(P(x)=0\) și divizibilitatea polinomului prin \(X-\alpha\).

1. Definiția și testarea unei valori

Numărul real \(\alpha\) este rădăcină a lui \(P\) dacă \(P(\alpha)=0\). Pentru a testa o valoare dată, substituim și calculăm; nu este necesar să rezolvăm întreaga ecuație.

Teorema lui Bézout transformă aceeași condiție într-un criteriu de divizibilitate: \(P(\alpha)=0\) dacă și numai dacă \(P(X)\) se împarte exact la \(X-\alpha\).

2. Factorizarea prin rădăcini

Dacă \(\alpha\) este rădăcină, atunci \(X-\alpha\) este factor. Găsirea unei rădăcini simple poate reduce gradul polinomului și face posibilă găsirea celorlalte rădăcini prin factorizare.

3. Multiplicitatea

O rădăcină este simplă dacă factorul \(X-\alpha\) apare o singură dată. Dacă apare la puterea \(m\), dar nu la \(m+1\), rădăcina are multiplicitatea \(m\). De exemplu, în \((X-2)(X+1)^2\), \(2\) este simplă, iar \(-1\) este dublă.

Definiție esențială. \(\alpha\in\mathbb R\) este rădăcină a polinomului \(P\) dacă \(P(\alpha)=0\).
De reținut.
  • \(\alpha\) rădăcină \(\Longleftrightarrow X-\alpha\) divide exact \(P(X)\).
  • Factorul \((X-\alpha)^m\) indică multiplicitatea \(m\), dacă puterea \(m+1\) nu divide polinomul.
  • Pentru un produs egal cu zero, cel puțin un factor trebuie să fie zero.

Exemplu explicat pas cu pas

Găsește rădăcinile lui \(P(X)=X^3-3X-2\).

  1. Testăm valori întregi simple: \(P(2)=8-6-2=0\), deci \(X-2\) este factor.
  2. Împărțind sau factorizând obținem \(P(X)=(X-2)(X^2+2X+1)\).
  3. Al doilea factor este \((X+1)^2\).
  4. Deci rădăcinile sunt \(2\) și \(-1\); \(-1\) apare de două ori.

Concluzie: \(2\) este rădăcină simplă, \(-1\) rădăcină dublă.

Greșeală frecventă. O rădăcină dublă nu înseamnă două numere diferite. Este aceeași valoare care apare cu multiplicitate 2 în factorizare.

Verificare rapidă

  • Este \(3\) rădăcină a lui \(X^2-9\)?
    Vezi răspunsul

    Da, deoarece \(3^2-9=0\).

  • Ce factor corespunde rădăcinii \(-4\)?
    Vezi răspunsul

    Factorul \(X+4\), adică \(X-(-4)\).

  • Ce multiplicitate are 2 în \((X-2)^3(X+1)\)?
    Vezi răspunsul

    Multiplicitatea este 3.

Exerciții

1
Verifică dacă \(2\) este rădăcină a lui \(P(X)=X^2-4\).
2
Verifică dacă \(-1\) este rădăcină a lui \(P(X)=X^3+1\).
3
Scrie factorul liniar asociat rădăcinii \(5\).
4
Scrie factorul liniar asociat rădăcinii \(-3\).
5
Găsește rădăcinile lui \(X^2-5X+6\).
6
Găsește rădăcinile și multiplicitățile lui \((X-4)^2(X+1)\).
7
Stabilește dacă \(X-2\) divide exact \(P(X)=X^3-4X+2\).
8
Factorizează \(X^3-4X^2-X+4\) prin grupare și găsește rădăcinile.
9
Construiește un polinom monic de grad 2 cu rădăcinile \(2\) și \(-3\).
10
Determină \(a\) astfel încât \(2\) să fie rădăcină a lui \(P(X)=X^3+aX-10\).
Înapoi Următor