G15 - Cilindrul

Cilindrul

Un cilindru circular drept are două baze-disc congruente situate în plane paralele. Segmentele paralele care unesc cercurile bazelor sunt generatoare; în cilindrul drept, ele sunt perpendiculare pe baze și au aceeași lungime cu înălțimea.

Elemente și reprezentare

Bazele sunt două discuri congruente. Raza bazei se notează de obicei cu \(R\) sau \(r\), iar înălțimea cu \(h\). Axa cilindrului este dreapta care unește centrele bazelor.

Prin rotația completă a unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile lui se obține un cilindru circular drept: latura de rotație devine înălțime, iar cealaltă latură devine raza bazei.

Desfășurare și secțiune axială

Desfășurarea cilindrului este alcătuită din două discuri și un dreptunghi. O latură a dreptunghiului este \(2\pi r\), lungimea cercului bazei, iar cealaltă este \(h\).

Secțiunea axială este un dreptunghi cu dimensiunile \(2r\) și \(h\), deoarece planul secțiunii conține axa cilindrului.

Arie și volum

Aria laterală este aria dreptunghiului din desfășurare: \(A_l=2\pi rh\). Aria totală adaugă cele două baze: \(A_t=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(h+r)\).

Volumul este produsul dintre aria bazei și înălțime: \(V=\pi r^2h\).

Definiție esențială. Un cilindru circular drept are două baze-disc congruente și paralele, iar generatoarele sunt perpendiculare pe planele bazelor.
De reținut.
  • \(A_l=2\pi rh\).
  • \(A_t=2\pi r(h+r)\).
  • \(V=\pi r^2h\).
  • Secțiunea axială are dimensiunile \(2r\) și \(h\).

Exemplu rezolvat

Un cilindru are raza bazei \(3\) cm și înălțimea \(8\) cm. Determină aria laterală, aria totală și volumul.

  1. Aria laterală: \(A_l=2\pi\cdot3\cdot8=48\pi\text{ cm}^2\).
  2. Aria bazelor împreună este \(2\pi\cdot3^2=18\pi\text{ cm}^2\).
  3. Aria totală este \(48\pi+18\pi=66\pi\text{ cm}^2\).
  4. Volumul este \(V=\pi\cdot3^2\cdot8=72\pi\text{ cm}^3\).

Concluzie: \(A_l=48\pi\text{ cm}^2,\ A_t=66\pi\text{ cm}^2,\ V=72\pi\text{ cm}^3\).

Greșeală frecventă. Nu confunda diametrul cu raza. În formulele de arie și volum apare raza; dacă problema dă diametrul, împarte mai întâi la 2.
Cilindru circular dreptCilindru cu rază R și înălțime h. Rh
Desfășurarea laterală este un dreptunghi cu laturile \(2\pi R\) și \(h\).

Verificare rapidă

  • Ce formă are desfășurarea suprafeței laterale?
    Vezi răspunsul

    Un dreptunghi.

  • Ce dimensiuni are secțiunea axială?
    Vezi răspunsul

    Înălțimea cilindrului și diametrul bazei \(2R\).

  • Ce mărime se calculează cu aria bazei înmulțită cu înălțimea?
    Vezi răspunsul

    Formula volumului: \(V=A_bh=\pi R^2h\).

Exerciții

1
Cum se numește segmentul care unește centrele bazelor unui cilindru circular drept și este perpendicular pe baze?
2
Un cilindru are raza \(4\) cm și înălțimea \(5\) cm. Determină aria laterală.
3
Un cilindru are raza \(3\) cm și înălțimea \(7\) cm. Determină volumul.
4
Secțiunea axială a unui cilindru are laturile \(10\) cm și \(12\) cm, iar \(12\) cm este înălțimea cilindrului. Determină raza bazei.
5
Un cilindru are diametrul bazei \(10\) cm și înălțimea \(6\) cm. Determină aria totală.
6
Aria laterală a unui cilindru este \(72\pi\text{ cm}^2\), iar raza este \(6\) cm. Determină înălțimea.
7
Volumul unui cilindru este \(200\pi\text{ cm}^3\), iar înălțimea este \(8\) cm. Determină raza.
8
Un dreptunghi de laturi \(5\) cm și \(8\) cm se rotește în jurul laturii de \(8\) cm. Determină volumul cilindrului obținut.
9
Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu aria \(144\text{ cm}^2\). Determină volumul cilindrului.
10
Un cilindru are raza \(5\) cm. O secțiune paralelă cu axa are lățimea \(8\) cm și înălțimea \(12\) cm. Determină distanța de la axă la planul secțiunii.
Înapoi Următor