G05 - Cercuri înscrise. Cercuri circumscrise

Cercuri înscrise. Cercuri circumscrise

Un cerc înscris este tangent la toate laturile poligonului, iar un cerc circumscris trece prin toate vârfurile. În triunghi, centrele acestor cercuri apar ca intersecții ale unor linii remarcabile, ceea ce oferă metode clare de construcție și calcul.

1. Cercul înscris în triunghi

Centrul cercului înscris este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor triunghiului. El este egal depărtat de toate laturile, iar această distanță comună este raza cercului înscris.

Într-un triunghi, cercul înscris există întotdeauna și este unic.

2. Cercul circumscris triunghiului

Centrul cercului circumscris este intersecția mediatoarelor laturilor. El este egal depărtat de cele trei vârfuri, iar această distanță este raza cercului circumscris.

Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci raza este jumătate din ipotenuză.

3. Patrulatere tangentiale și ciclice

Pentru un patrulater cu cerc înscris, sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale. Pentru un patrulater înscris într-un cerc, unghiurile opuse sunt suplementare.

Aceste relații sunt criterii foarte eficiente în probleme: una este metrică, bazată pe laturi, cealaltă este unghiulară.

De reținut.
  • Incentru = intersecția bisectoarelor; raza este distanța la laturi.
  • Circumcentru = intersecția mediatoarelor; raza este distanța la vârfuri.
  • Patrulater tangential: sumele laturilor opuse sunt egale; patrulater ciclic: unghiurile opuse au suma \(180^\circ\).

Exemplu explicat pas cu pas

Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 10 cm. Află raza cercului circumscris.

  1. Într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este circumcentrul.
  2. Raza cercului circumscris este distanța de la acest mijloc la un vârf, adică jumătate din ipotenuză.
  3. Calculăm \(R=10/2=5\) cm.

Concluzie: Raza este 5 cm.

Greșeală frecventă. Nu confunda centrul cercului înscris cu centrul cercului circumscris. Primul vine din bisectoare și distanțe la laturi; al doilea din mediatoare și distanțe la vârfuri.

Verificare rapidă

  • Ce linii se intersectează în incentru?
    Vezi răspunsul

    Bisectoarele unghiurilor triunghiului.

  • Ce linii se intersectează în circumcentru?
    Vezi răspunsul

    Mediatoarele laturilor triunghiului.

  • Ce sumă au unghiurile opuse într-un patrulater ciclic?
    Vezi răspunsul

    Au suma \(180^\circ\).

Exerciții

1
Ce punct este centrul cercului înscris într-un triunghi?
2
Ce punct este centrul cercului circumscris unui triunghi?
3
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 14 cm. Află raza cercului circumscris.
4
Un patrulater ciclic are \(\angle A=75^\circ\). Află \(\angle C\).
5
Un patrulater are cerc înscris și laturile consecutive 5, 7, 6, x. Află x.
6
Într-un triunghi, un punct P este egal depărtat de toate cele trei laturi. Ce punct remarcabil este P?
7
Într-un triunghi, un punct O este egal depărtat de cele trei vârfuri. Ce punct remarcabil este O?
8
Un patrulater ciclic are unghiurile opuse \(2x+10^\circ\) și \(4x+20^\circ\). Află \(x\).
9
Un triunghi dreptunghic are catetele 6 cm și 8 cm. Află raza cercului circumscris.
10
Poate un patrulater cu laturile consecutive 4, 6, 7, 3 să aibă un cerc înscris?
Înapoi Următor