A07 - Funcția \(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=x^3\)

Funcția \(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=x^3\)

Funcția cubică de bază este un model simplu, dar foarte important: păstrează semnul argumentului, este strict crescătoare pe toată dreapta reală și are o simetrie față de origine. Ea arată clar că nu orice funcție neliniară are maxime sau minime.

1. Valori și grafic

Pentru \(f(x)=x^3\), fiecare număr real este admis și fiecare valoare reală poate fi obținută. Puncte utile pentru schiță sunt \((-2,-8),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,8)\).

Graficul trece prin origine și se numește parabolă cubică în terminologia manualului.

2. Monotonie și semn

Dacă \(x_1

Deoarece funcția crește permanent, nu are extreme.

3. Simetria

Relația \(f(-x)=-f(x)\) arată că punctele graficului apar în perechi simetrice față de origine: dacă \((a,a^3)\) este pe grafic, atunci și \((-a,-a^3)\) este pe grafic.

Definiție esențială. Funcția \(f(x)=x^3\) este definită pe \(\mathbb R\), are imaginea \(\mathbb R\) și este strict crescătoare.
De reținut.
  • Zeroul unic este \(0\).
  • \(x<0\Rightarrow x^3<0\), \(x>0\Rightarrow x^3>0\).
  • \((-x)^3=-x^3\), deci graficul este simetric față de origine.

Exemplu explicat pas cu pas

Determină \(x\) dacă \(x^3=-64\).

  1. Căutăm numărul real al cărui cub este \(-64\).
  2. Deoarece \(4^3=64\), avem \((-4)^3=-64\).
  3. Funcția \(x^3\) este strict crescătoare, deci această soluție este unică.

Concluzie: \(x=-4\).

Greșeală frecventă. Nu trata ecuația \(x^3=a\) ca pe \(x^2=a\). Pentru orice \(a\in\mathbb R\), ecuația cubică simplă are o singură soluție reală, nu două valori \(\pm\).

Verificare rapidă

  • Cât este \(f(-2)\)?
    Vezi răspunsul

    \(f(-2)=(-2)^3=-8\).

  • Ce simetrie are graficul?
    Vezi răspunsul

    Simetrie centrală față de origine; funcția este impară.

  • Are funcția \(x^3\) o valoare minimă?
    Vezi răspunsul

    Nu. Funcția ia valori oricât de mici și oricât de mari.

Exerciții

1
Calculează \(f(3)\) pentru \(f(x)=x^3\).
2
Calculează \(f(-2)\) pentru \(f(x)=x^3\).
3
Verifică dacă punctul \(A(2,8)\) aparține graficului lui \(x^3\).
4
Verifică dacă \(B(-3,27)\) aparține graficului.
5
Rezolvă \(x^3=125\).
6
Rezolvă \(x^3=-\displaystyle\frac{8}{27}\).
7
Compară \((-1,4)^3\) și \((-1,2)^3\) fără calcul complet.
8
Dacă \((a,16)\) este pe graficul lui \(f(x)=x^3\), exprimă \(a\).
9
Arată că punctele \(P(2,8)\) și \(Q(-2,-8)\) sunt simetrice față de origine.
10
Rezolvă \(x^3+27=0\).
Înapoi Următor