Conul circular drept este corpul de rotație obținut, de exemplu, prin rotirea completă a unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Are o singură bază circulară, un vârf, o înălțime și generatoare care unesc vârful cu cercul bazei.
Elemente și secțiune axială
Baza este un disc de rază \(r\), vârful este un punct exterior planului bazei, iar generatoarea \(g\) unește vârful cu un punct al cercului bazei.
În conul drept, înălțimea \(h\) unește vârful cu centrul bazei și este perpendiculară pe planul bazei. Secțiunea axială este un triunghi isoscel cu baza \(2r\), înălțimea \(h\) și laturile egale \(g\).
Desfășurarea
Suprafața laterală desfășurată este un sector de cerc cu raza egală cu generatoarea \(g\). Lungimea arcului sectorului este egală cu lungimea cercului bazei, \(2\pi r\).
În triunghiul dreptunghic format de vârf, centrul bazei și un punct de pe cerc, avem relația \(g^2=h^2+r^2\).
Arie și volum
Aria laterală a conului este \(A_l=\pi rg\), iar aria totală este \(A_t=\pi r(g+r)\).
Volumul este o treime din produsul ariei bazei și înălțimii: \(V=\displaystyle\frac13\pi r^2h\).
Definiție esențială. Un con circular drept are o bază-disc, un vârf și generatoare; înălțimea lui trece prin centrul bazei și este perpendiculară pe planul bazei.
De reținut.
\(g^2=h^2+r^2\).
\(A_l=\pi rg\).
\(A_t=\pi r(g+r)\).
\(V=\displaystyle\frac13\pi r^2h\).
Exemplu rezolvat
Un con are raza \(3\) cm și înălțimea \(4\) cm. Determină generatoarea, aria laterală și volumul.
Concluzie: \(g=5\) cm, \(A_l=15\pi\text{ cm}^2\), \(V=12\pi\text{ cm}^3\).
Greșeală frecventă. În formula ariei laterale apare generatoarea \(g\), iar în formula volumului apare înălțimea \(h\). Cele două nu sunt aceeași lungime.
În secțiunea axială, \(r\), \(h\) și \(g\) satisfac \(g^2=r^2+h^2\).
Verificare rapidă
Câte baze are un con?Vezi răspunsul
O singură bază.
Ce formă are secțiunea axială?Vezi răspunsul
Un triunghi isoscel.
Ce relație leagă \(r,h,g\)?Vezi răspunsul
\(g^2=r^2+h^2\).
Exerciții
1
Cum se numește segmentul care unește vârful conului cu un punct al cercului bazei?
2
Un con drept are raza \(3\) cm și înălțimea \(4\) cm. Determină generatoarea.
3
Un con are raza \(4\) cm și generatoarea \(6\) cm. Determină aria laterală.
4
Un con are raza \(3\) cm și înălțimea \(8\) cm. Determină volumul.
5
Un con are \(r=5\) cm și \(g=13\) cm. Determină înălțimea.
6
Un con are raza \(5\) cm și generatoarea \(13\) cm. Determină aria totală.
7
Un triunghi dreptunghic cu catetele \(6\) cm și \(8\) cm se rotește în jurul catetei de \(8\) cm. Determină volumul conului obținut.
8
Aria laterală a unui con este \(60\pi\text{ cm}^2\), iar raza este \(5\) cm. Determină generatoarea.
9
Secțiunea axială a unui con are baza \(10\) cm și laturile egale \(13\) cm. Determină volumul conului.
10
Un con are aria bazei \(9\pi\text{ cm}^2\) și volumul \(12\pi\text{ cm}^3\). Determină aria totală.