A03 - Puteri și radicali

Puteri și radicali

Puterile și radicalii sunt două limbaje care descriu aceeași idee din direcții opuse: ridicarea la putere construiește o valoare, iar radicalul caută valoarea care, ridicată la puterea potrivită, produce numărul dat. În clasa a IX-a este important să stăpânești condițiile de existență și proprietățile, nu doar transformările simbolice.

1. Rădăcina pătrată

Pentru \(a\ge0\), \(\sqrt a\) este numărul nenegativ al cărui pătrat este \(a\). Cuvântul „nenegativ” este esențial: \(\sqrt9=3\), nu \(\pm3\). Semnul \(\pm\) apare când rezolvăm o ecuație de tipul \(x^2=9\), nu în valoarea radicalului.

Relația \(\sqrt{a^2}=|a|\) explică de ce nu putem scrie pur și simplu \(a\): dacă \(a=-5\), radicalul trebuie să fie \(5\), nu \(-5\).

2. Operații cu radicali

Pentru numere nenegative, radicalul produsului poate fi separat, iar pentru un raport cu numitor pozitiv radicalul raportului poate fi separat. Aceste proprietăți permit extragerea factorilor pătrați și simplificarea expresiilor.

Raționalizarea numitorului elimină radicalii din numitor. Pentru un numitor de forma \(a+\sqrt b\) sau \(a-\sqrt b\), expresia conjugată este instrumentul natural deoarece produsul conjugatelor este o diferență de pătrate.

3. Puteri cu exponent întreg

Exponentul pozitiv înseamnă înmulțire repetată. Exponentul zero dă \(1\) pentru o bază nenulă, iar exponentul negativ înseamnă inversare: \(a^{-n}=\displaystyle\frac1{a^n}\), cu \(a\ne0\).

Legile puterilor comprimă calcule lungi: la produsul puterilor cu aceeași bază se adună exponenții, la cât se scad, iar la puterea unei puteri se înmulțesc exponenții.

Definiție esențială. Pentru \(a\ge0\), \(\sqrt a\) este unicul număr \(b\ge0\) cu \(b^2=a\). Pentru \(a\ne0\) și \(n\in\mathbb N^*\), \(a^{-n}=\displaystyle\frac1{a^n}\).
De reținut.
  • \(\sqrt{a^2}=|a|\).
  • \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) pentru \(a,b\ge0\).
  • \(a^m a^n=a^{m+n}\), \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) pentru \(a\ne0\), \((a^m)^n=a^{mn}\).

Exemplu explicat pas cu pas

Simplifică \(\sqrt{72}-2\sqrt8\).

  1. Descompunem \(72=36\cdot2\), deci \(\sqrt{72}=6\sqrt2\).
  2. Descompunem \(8=4\cdot2\), deci \(\sqrt8=2\sqrt2\).
  3. Înlocuim: \(6\sqrt2-2\cdot2\sqrt2=6\sqrt2-4\sqrt2=2\sqrt2\).

Concluzie: Rezultatul este \(2\sqrt2\).

Greșeală frecventă. Nu distribui radicalul peste adunare: în general \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\). De exemplu, \(\sqrt{9+16}=5\), pe când \(3+4=7\).

Verificare rapidă

  • De ce \(\sqrt{x^2}=|x|\)?
    Vezi răspunsul

    Rădăcina pătrată este nenegativă. Atât \(x\), cât și \(-x\) au pătratul \(x^2\), deci \(\sqrt{x^2}=|x|\).

  • Cât este \(2^{-3}\)?
    Vezi răspunsul

    \(2^{-3}=\displaystyle\frac1{2^3}=\displaystyle\frac18\).

  • Ce expresie conjugată are \(3-\sqrt5\)?
    Vezi răspunsul

    Expresia conjugată este \(3+\sqrt5\).

Exerciții

1
Calculează \(\sqrt{81}\).
2
Calculează \(\sqrt{(-7)^2}\).

\(\sqrt{a^2}=|a|\)

3
Simplifică \(\sqrt{50}\).
4
Calculează \(3^4\cdot3^{-2}\).
5
Calculează \(\left(\displaystyle\frac23\right)^{-2}\).

\(a^{-n}=\displaystyle\frac1{a^n}\)

6
Simplifică \(\sqrt{48}+\sqrt{27}-\sqrt3\).
7
Raționalizează numitorul lui \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt3}\).

\(\displaystyle\frac{E}{\sqrt b}=\displaystyle\frac{E\sqrt b}{b}\), \(b>0\)

8
Raționalizează \(\displaystyle\frac{2}{3-\sqrt5}\).

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

9
Simplifică \(\displaystyle\frac{2^7\cdot2^{-3}}{2^2}\).
10
Rezolvă \(\sqrt{x^2}=6\).

\(\sqrt{x^2}=|x|\)

Înapoi Următor