Trunchiul de con
Un trunchi de con se obține tăind un con cu un plan paralel cu baza și păstrând partea cuprinsă între cele două baze circulare. Are două baze de raze diferite, generatoare și o înălțime.
Elementele trunchiului de con
Bazele sunt două discuri paralele cu razele \(R\) și \(r\), unde de obicei \(R>r\). Segmentul dintre centrele bazelor este înălțimea \(h\).
Generatoarele sunt porțiuni din generatoarele conului inițial. În trunchiul de con drept, secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele \(2R\) și \(2r\), înălțimea \(h\) și laturile laterale egale cu generatoarea \(g\).
Desfășurarea
Suprafața laterală desfășurată este un sector de coroană circulară. Lungimile celor două arce sunt egale cu lungimile cercurilor bazelor, adică \(2\pi R\) și \(2\pi r\).
În secțiunea axială, diferența razelor \(R-r\), înălțimea \(h\) și generatoarea \(g\) formează un triunghi dreptunghic, deci \(g^2=h^2+(R-r)^2\).
Aria laterală și aria totală
Manualul deduce aria laterală prin diferența ariilor laterale a două conuri asemenea și obține \(A_l=\pi g(R+r)\).
Aria totală se obține adăugând ariile celor două baze: \(A_t=\pi g(R+r)+\pi R^2+\pi r^2\).
Definiție esențială. Un trunchi de con circular drept este partea unui con cuprinsă între baza lui și un plan paralel cu baza.
De reținut.- \(g^2=h^2+(R-r)^2\).
- \(A_l=\pi g(R+r)\).
- \(A_t=A_l+\pi R^2+\pi r^2\).
- Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele \(2R\) și \(2r\).
Exemplu rezolvat
Un trunchi de con are \(R=5\) cm, \(r=2\) cm și \(h=4\) cm. Determină generatoarea și aria laterală.
- Generatoarea verifică \(g^2=4^2+(5-2)^2=16+9=25\), deci \(g=5\) cm.
- Aplicăm \(A_l=\pi g(R+r)\).
- Obținem \(A_l=\pi\cdot5(5+2)=35\pi\text{ cm}^2\).
Concluzie: \(g=5\) cm și \(A_l=35\pi\text{ cm}^2\).
Greșeală frecventă. În formula pentru generatoare apare diferența razelor \(R-r\), nu suma lor. Suma \(R+r\) apare în formula ariei laterale.
Verificare rapidă
- Ce formă are secțiunea axială?
Vezi răspunsul
- Ce formă are desfășurarea suprafeței laterale?
Vezi răspunsul
Un sector de coroană circulară.
- Care rază este mai mare în notația uzuală?
Vezi răspunsul
Exerciții
1
Ce formă are secțiunea axială a unui trunchi de con circular drept?
2
Un trunchi de con are \(R=5\) cm, \(r=2\) cm și \(h=4\) cm. Determină generatoarea.
3
Un trunchi de con are \(R=6\) cm, \(r=2\) cm și generatoarea \(5\) cm. Determină aria laterală.
4
Un trunchi de con are diametrele bazelor \(14\) cm și \(8\) cm, iar înălțimea \(4\) cm. Determină generatoarea.
5
Un trunchi de con are \(R=5\) cm, \(r=2\) cm și \(g=5\) cm. Determină aria totală.
6
Secțiunea axială a unui trunchi de con are bazele \(20\) cm și \(8\) cm și înălțimea \(8\) cm. Determină generatoarea.
7
Aria laterală a unui trunchi de con este \(84\pi\text{ cm}^2\), generatoarea este \(7\) cm, iar raza mică este \(5\) cm. Determină raza mare.
8
Un trunchi de con are \(R=10\) cm, \(r=4\) cm și \(g=10\) cm. Determină înălțimea.
9
Un trapez isoscel cu bazele \(12\) cm și \(4\) cm și înălțimea \(3\) cm se rotește în jurul axei sale de simetrie. Determină aria laterală a trunchiului de con obținut.
10
Un trunchi de con are \(R=7\) cm, \(r=3\) cm și aria secțiunii axiale \(80\text{ cm}^2\). Determină generatoarea.