Prima lecție de geometrie recapitulează limbajul de bază: drepte și segmente, relații între drepte, tipuri de unghiuri, proprietăți ale triunghiurilor și elemente ale cercului. Manualul completează recapitularea cu unghiuri la centru, arce și unghiuri înscrise.
1. Linii și unghiuri
Dreptele coplanare pot fi paralele sau concurente; două drepte concurente sunt perpendiculare dacă formează un unghi drept. Unghiurile pot fi ascuțite, drepte, obtuze, întinse sau nule. Unghiurile complementare au suma \(90^\circ\), iar cele suplementare au suma \(180^\circ\).
2. Triunghiuri și drepte paralele
Triunghiurile se clasifică după laturi și după unghiuri. Pentru două drepte paralele tăiate de o secantă, relațiile dintre unghiurile alterne, corespondente și interne de aceeași parte permit calcularea măsurilor și recunoașterea paralelismului.
3. Cercul, arcele și unghiurile înscrise
O dreaptă poate fi exterioară, secantă sau tangentă unui cerc. Unghiul la centru are vârful în centrul cercului, iar măsura arcului mic corespunzător este egală cu măsura sa. Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile lui.
Definiție esențială. Unghiul înscris are vârful pe cerc, iar laturile sale intersectează cercul; \(m(\angle ACB)=\frac12\,m(\widehat{AB})\).
De reținut.
Unghiuri opuse la vârf sunt congruente.
Pentru drepte paralele, unghiurile alterne interne și cele corespondente sunt congruente.
Unghi înscris = jumătate din arcul interceptat.
Exemplu explicat pas cu pas
Un unghi înscris interceptează un arc de \(120^\circ\). Află măsura unghiului.
Aplicăm teorema unghiului înscris.
Împărțim măsura arcului la \(2\): \(120^\circ:2=60^\circ\).
Unghiul înscris măsoară \(60^\circ\).
Concluzie: Măsura unghiului este \(60^\circ\).
Greșeală frecventă. Nu confunda unghiul la centru cu unghiul înscris: unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul mic, cel înscris are jumătate.
Verificare rapidă
Ce sumă au două unghiuri suplementare?
Câte puncte comune are o tangentă cu cercul?
Ce unghi înscris corespunde unui arc de \(80^\circ\)?
Exerciții
1
Două unghiuri sunt complementare, iar unul măsoară \(37^\circ\). Află celălalt unghi.
2
Două unghiuri sunt suplementare, iar unul măsoară \(128^\circ\). Află celălalt.
3
Un unghi opus la vârf unui unghi de \(46^\circ\) are ce măsură?
4
Într-un triunghi două unghiuri măsoară \(55^\circ\) și \(70^\circ\). Află al treilea unghi.
5
Un cerc are raza \(7\) cm. Ce lungime are diametrul?
\(D=2R\)
6
Un unghi la centru măsoară \(95^\circ\). Ce măsură are arcul mic corespunzător?
7
Un unghi înscris interceptează un arc de \(150^\circ\). Află unghiul.
\(m(\angle)=\frac12m(\widehat{arc})\)
8
Un unghi înscris măsoară \(42^\circ\). Află arcul interceptat.
9
Un arc mic al unui cerc măsoară \(110^\circ\). Cât măsoară arcul mare cu aceleași capete?
10
O dreaptă se află la distanța \(5\) cm de centrul unui cerc de rază \(5\) cm. Ce relație are dreapta cu cercul?