G04 - Paralelograme

Paralelograme

Paralelogramul este un patrulater cu două perechi de laturi opuse paralele. Proprietățile sale conduc la cazurile particulare dreptunghi, romb și pătrat și oferă criterii practice de recunoaștere.

1. Proprietăți de bază

Într-un paralelogram, laturile opuse sunt paralele și congruente, unghiurile opuse sunt congruente, iar unghiurile consecutive sunt suplementare. Diagonalele se înjumătățesc reciproc.

2. Criterii de paralelogram

Un patrulater convex este paralelogram dacă, de exemplu, are ambele perechi de laturi opuse paralele, sau o pereche de laturi opuse paralele și congruente, sau diagonalele cu același mijloc.

3. Cazuri particulare

Dreptunghiul este paralelogram cu un unghi drept și are diagonale congruente. Rombul are toate laturile congruente, diagonale perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor. Pătratul combină proprietățile dreptunghiului și rombului.

Definiție esențială. Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse două câte două paralele.
De reținut.
  • Laturile și unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt congruente.
  • Diagonalele paralelogramului se înjumătățesc.
  • Dreptunghi + laturi consecutive congruente \(\Rightarrow\) pătrat.

Exemplu explicat pas cu pas

Într-un paralelogram, un unghi măsoară \(68^\circ\). Află celelalte unghiuri.

  1. Unghiul opus este congruent, deci tot \(68^\circ\).
  2. Unghiurile consecutive sunt suplementare: \(180^\circ-68^\circ=112^\circ\).
  3. Al patrulea unghi este opus celui de \(112^\circ\), deci tot \(112^\circ\).

Concluzie: Unghiurile sunt \(68^\circ,112^\circ,68^\circ,112^\circ\).

Greșeală frecventă. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc, dar nu sunt în general nici congruente, nici perpendiculare.

Verificare rapidă

  • Ce proprietate au diagonalele unui dreptunghi?
  • Ce proprietate suplimentară au diagonalele unui romb?
  • Cât măsoară un unghi consecutiv unuia de \(130^\circ\)?

Exerciții

1
Într-un paralelogram \(ABCD\), \(AB=8\) cm. Află \(CD\).
2
Într-un paralelogram, \(\angle A=70^\circ\). Află \(\angle B\).
3
Diagonalele unui paralelogram se intersectează în \(O\). Dacă \(AO=6\) cm, află \(OC\).
4
Un dreptunghi are diagonala de \(10\) cm. Dacă diagonalele se intersectează în \(O\), află \(OA\).
5
Într-un romb diagonalele au lungimile \(12\) cm și \(16\) cm. Ce lungimi au semidiagonalele?
6
Un paralelogram are perimetrul \(30\) cm și o latură de \(9\) cm. Află cealaltă latură.

\(P=2(a+b)\)

7
Un patrulater are diagonalele care se înjumătățesc reciproc. Ce poți concluziona?
8
Într-un romb, un unghi este de \(120^\circ\). Află unghiul consecutiv.
9
Un paralelogram are un unghi drept. Ce tip special de paralelogram este?
10
Un paralelogram are diagonalele perpendiculare. Ce tip special poate fi concluzionat conform criteriilor uzuale?
Înapoi Următor