Ideea lecției
Monotonia descrie direcția în care se schimbă valorile funcției cînd \(x\) crește. Extremele locale sau globale marchează valori minime ori maxime. Aceste noțiuni se citesc atît algebric, cît și de pe grafic.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- Funcția este crescătoare pe un interval dacă \(x_1
- Este strict crescătoare dacă inegalitatea valorilor este strictă.
- Un maxim/minim este o valoare a funcției care domină/este dominată de valorile relevante din vecinătate sau domeniu.
Reguli și legături importante
- Monotonia se declară pe un interval, nu „într-un punct”.
- O funcție poate crește pe un interval și descrește pe altul.
- La o parabolă, vîrful separă intervalele de monotonie.
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Privește două argumente ordonate \(x_1
- Pasul 2. Compară valorile \(f(x_1)\) și \(f(x_2)\).
- Pasul 3. Dacă funcția schimbă direcția, identifică punctul de schimbare.
- Pasul 4. Separă concluziile pe intervale.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Descrie monotonia lui \(f(x)=x^2\).
Pasul 1. Pentru \(x<0\), apropierea de zero micșorează \(|x|\), deci și \(x^2\).
Pasul 2. Funcția este descrescătoare pe \(( -\infty,0]\).
Pasul 3. Pentru \(x>0\), odată cu \(x\) crește \(x^2\), deci este crescătoare pe \([0,+\infty)\); minimul este 0 la \(x=0\).
Concluzie. Descrescătoare pe \(( -\infty,0]\), crescătoare pe \([0,+\infty)\), minim 0.
Greșeală frecventă
Nu spune că \(x^2\) este crescătoare pe toată \(\mathbb R\); comportamentul de pe partea negativă este invers.
Verificare rapidă
- Poate monotonia să fie diferită pe intervale diferite?
Vezi răspunsul
- Care este minimul lui \(x^2\)?
Vezi răspunsul
- Unde se atinge?
Vezi răspunsul
Exerciții
1
Care este minimul lui \(f(x)=(x-2)^2+1\)?
2
Este \(f(x)=3x+1\) crescătoare sau descrescătoare?
3
Pe ce interval este \(x^2\) descrescătoare?
4
Poate monotonia să fie diferită pe intervale diferite?
5
Care este minimul lui \(x^2\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Descrie monotonia lui \(f(x)=x^2\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu spune că \(x^2\) este crescătoare pe toată \(\mathbb R\); comportamentul de pe partea negativă este invers.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.