G14 - Mediatoarele, înălțimile și centrele triunghiului

Ideea lecției

Mediatoarea unui segment și înălțimea unui triunghi sînt ambele perpendiculare, dar au roluri diferite. Mediatoarele laturilor se întîlnesc în circumcentru, iar înălțimile în ortocentru.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Mediatoarea unui segment este perpendiculară pe segment în mijlocul lui.
  • Punctele mediatoarei sînt egal depărtate de capetele segmentului.
  • Mediatoarele laturilor triunghiului sînt concurente în circumcentru \(O\), centrul cercului circumscris.
  • Dreptele suport ale înălțimilor sînt concurente în ortocentru \(H\).

Reguli și legături importante

  • Circumcentrul poate fi în interior, pe latură sau în exterior, în funcție de tipul triunghiului.
  • Ortocentrul unui triunghi dreptunghic este vîrful unghiului drept.
  • Înălțimea pleacă din vîrf perpendicular pe latura opusă sau prelungirea ei.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Distinge dacă problema vorbește despre mijlocul unei laturi sau despre un vîrf.
  2. Pasul 2. Pentru circumcentru, construiește mediatoarele a două laturi.
  3. Pasul 3. Pentru ortocentru, construiește două înălțimi.
  4. Pasul 4. Folosește egalitatea razelor \(OA=OB=OC\) pentru circumcentru.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Unde este circumcentrul unui triunghi dreptunghic?

Pasul 1. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris.

Pasul 2. Centrul cercului este mijlocul diametrului.

Pasul 3. Deci circumcentrul este mijlocul ipotenuzei.

Concluzie. Circumcentrul este mijlocul ipotenuzei.

Greșeală frecventă

Mediatoarea unei laturi nu pleacă obligatoriu dintr-un vîrf; înălțimea da.

Verificare rapidă

  • Punctul de concurență al mediatoarelor?
    Vezi răspunsul

    Circumcentrul.

  • Al înălțimilor?
    Vezi răspunsul

    Ortocentrul.

  • Unde este circumcentrul unui triunghi dreptunghic?
    Vezi răspunsul

    La mijlocul ipotenuzei.

Exerciții

1
Cum se numește intersecția mediatoarelor?
2
Cum se numește intersecția înălțimilor?
3
Într-un triunghi echilateral, circumcentrul și ortocentrul coincid?
4
Punctul de concurență al mediatoarelor?
5
Al înălțimilor?
6
Unde este circumcentrul unui triunghi dreptunghic?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Unde este circumcentrul unui triunghi dreptunghic?
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Mediatoarea unei laturi nu pleacă obligatoriu dintr-un vîrf; înălțimea da.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor