A05 - Mulțimi, elemente și cardinal

Ideea lecției

O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate și distincte. În această lecție separăm trei întrebări care se confundă ușor: „ce elemente are mulțimea?”, „cum este descrisă?” și „cîte elemente are?”.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Scriem \(x\in A\) dacă \(x\) este element al mulțimii \(A\), respectiv \(x\notin A\) dacă nu este.
  • Mulțimea vidă, notată \(\varnothing\), nu conține niciun element.
  • Cardinalul unei mulțimi finite \(A\), notat \(|A|\) sau \(\operatorname{card}A\), este numărul elementelor ei.
  • O mulțime poate fi descrisă prin enumerare, printr-o proprietate caracteristică sau printr-o diagramă.

Reguli și legături importante

  • Ordinea elementelor nu schimbă mulțimea și repetarea unui element nu îl numără de două ori.
  • Pentru o mulțime definită prin proprietate, găsește toate valorile care verifică proprietatea, nu doar un exemplu.
  • \(\operatorname{card}\varnothing=0\).

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică universul în care sînt căutate elementele.
  2. Pasul 2. Rezolvă condiția care definește mulțimea.
  3. Pasul 3. Elimină repetițiile și valorile care nu aparțin universului cerut.
  4. Pasul 4. Numără elementele rămase dacă se cere cardinalul.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Determină \(A=\{x\in\mathbb Z\mid x^2<10\}\) și cardinalul ei.

Pasul 1. Din \(x^2<10\) rezultă \(|x|<\sqrt{10}\), deci \(-3

Pasul 2. Valorile întregi sînt \(-3,-2,-1,0,1,2,3\)? Verificăm capetele: \(3^2=9<10\), deci și \(\pm3\) se includ.

Pasul 3. Prin urmare \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), cu 7 elemente.

Concluzie. \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), \(\operatorname{card}A=7\).

Greșeală frecventă

Nu confunda elementul \(0\) cu mulțimea vidă. \(\{0\}\) are un element, iar \(\\varnothing\) are zero elemente.

Verificare rapidă

  • Cîte elemente are \(\{1,1,2,2,3\}\)?
    Vezi răspunsul

    3, deoarece repetițiile nu creează elemente noi.

  • Este \(0\in\varnothing\)?
    Vezi răspunsul

    Nu.

  • Ce este cardinalul unei mulțimi finite?
    Vezi răspunsul

    Numărul elementelor distincte ale mulțimii.

Exerciții

1
Scrie prin enumerare \(A=\{x\in\mathbb N\mid x<4\}\), considerînd \(0\in\mathbb N\).

\(\displaystyle \operatorname{card}\varnothing=0\)

2
Care este cardinalul lui \(\{a,b,a,c\}\)?
3
Care este cardinalul mulțimii vide?
4
Cîte elemente are \(\{1,1,2,2,3\}\)?
5
Este \(0\in\varnothing\)?
6
Ce este cardinalul unei mulțimi finite?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Determină \(A=\{x\in\mathbb Z\mid x^2<10\}\) și cardinalul ei.
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu confunda elementul \(0\) cu mulțimea vidă. \(\{0\}\) are un element, iar \(\\varnothing\) are zero elemente.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor