A34 - Sisteme și totalități de inecuații

Ideea lecției

Un sistem de inecuații cere satisfacerea simultană a tuturor condițiilor, deci intersectăm intervalele. O totalitate cere satisfacerea cel puțin a unei condiții, deci reunim intervalele. Diferența logică „și/sau” este cheia întregii lecții.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Sistem: \(S=S_1\cap S_2\cap\cdots\).
  • Totalitate: \(S=S_1\cup S_2\cup\cdots\).
  • Reprezentarea pe aceeași axă numerică reduce erorile la intersecție și reuniune.

Reguli și legături importante

  • Rezolvă fiecare inecuație separat înainte de operația între mulțimi.
  • La intersecție păstrează numai suprapunerea.
  • La reuniune păstrează toate porțiunile acoperite de cel puțin o ramură.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Rezolvă fiecare componentă.
  2. Pasul 2. Desenează intervalele pe o axă comună.
  3. Pasul 3. Pentru sistem ia intersecția; pentru totalitate ia reuniunea.
  4. Pasul 4. Simplifică notația finală a intervalelor.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(\begin{cases}x>-1\\x\le4\end{cases}\).

Pasul 1. Prima condiție dă \((-1,+\infty)\).

Pasul 2. A doua dă \(( -\infty,4]\).

Pasul 3. Intersecția este \((-1,4]\).

Concluzie. \(S=(-1,4]\).

Greșeală frecventă

Nu reuni soluțiile unui sistem. Un sistem exprimă „și”, nu „sau”.

Verificare rapidă

  • Ce operație folosim la sistem?
    Vezi răspunsul

    Intersecția.

  • Ce operație folosim la totalitate?
    Vezi răspunsul

    Reuniunea.

  • Intersecția lui \((0,5)\) și \([3,8]\) este?
    Vezi răspunsul

    \([3,5)\).

Exerciții

1
Rezolvă sistemul \(x>0,\ x<4\).

\(\displaystyle S_{sistem}=\bigcap S_i
S_{totalitate}=\bigcup S_i\)

2
Rezolvă totalitatea \(x\le-1\) sau \(x>2\).
3
Intersecția \([-2,3]\cap[1,5]\) este?
4
Ce operație folosim la sistem?
5
Ce operație folosim la totalitate?
6
Intersecția lui \((0,5)\) și \([3,8]\) este?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(\begin{cases}x>-1\\x\le4\end{cases}\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu reuni soluțiile unui sistem. Un sistem exprimă „și”, nu „sau”.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor