A40 - Relațiile lui Viète

Ideea lecției

Relațiile lui Viète conectează rădăcinile unei ecuații de gradul II cu coeficienții ei. Ele permit verificări rapide, construirea unei ecuații din rădăcini și rezolvarea problemelor în care nu este necesar să calculăm rădăcinile separat.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Dacă \(x_1,x_2\) sînt rădăcinile lui \(ax^2+bx+c=0\), atunci \(x_1+x_2=-\displaystyle\frac ba\).
  • Produsul este \(x_1x_2=\displaystyle\frac ca\).
  • O ecuație monică cu rădăcini \(r_1,r_2\) este \(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2=0\).

Reguli și legături importante

  • Relațiile presupun existența rădăcinilor în mulțimea în care lucrăm.
  • Pentru o ecuație nemonică, nu uita împărțirea la \(a\).
  • Viète poate evita formula discriminantului dacă suma și produsul se recunosc ușor.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică \(a,b,c\).
  2. Pasul 2. Calculează suma \(-b/a\) și produsul \(c/a\).
  3. Pasul 3. Dacă cauți rădăcinile, găsește două numere cu acea sumă și acel produs.
  4. Pasul 4. Verifică prin substituție sau factorizare.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Găsește rădăcinile lui \(x^2-7x+12=0\) folosind Viète.

Pasul 1. Avem \(x_1+x_2=7\) și \(x_1x_2=12\).

Pasul 2. Căutăm două numere cu suma 7 și produsul 12.

Pasul 3. Numerele 3 și 4 satisfac ambele condiții.

Concluzie. Rădăcinile sînt 3 și 4.

Greșeală frecventă

La suma rădăcinilor apare semnul minus: \(x_1+x_2=-b/a\).

Verificare rapidă

  • Care este suma rădăcinilor?
    Vezi răspunsul

    \(-b/a\).

  • Care este produsul rădăcinilor?
    Vezi răspunsul

    \(c/a\).

  • Pentru \(x^2-5x+6=0\), suma este?
    Vezi răspunsul

    5.

Exerciții

1
Pentru \(x^2-8x+15=0\), află suma și produsul rădăcinilor.

\(\displaystyle x_1+x_2=-\displaystyle\frac ba
x_1x_2=\displaystyle\frac ca\)

2
Construiește ecuația monică cu rădăcini 2 și 5.
3
Rădăcinile lui \(x^2-9x+20=0\)?
4
Care este suma rădăcinilor?
5
Care este produsul rădăcinilor?
6
Pentru \(x^2-5x+6=0\), suma este?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Găsește rădăcinile lui \(x^2-7x+12=0\) folosind Viète.
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „La suma rădăcinilor apare semnul minus: \(x_1+x_2=-b/a\).” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor