A08 - Produsul cartezian

Ideea lecției

Produsul cartezian produce perechi ordonate. Ordinea din pereche contează, iar această idee stă la baza sistemelor de coordonate, relațiilor și funcțiilor. Un punct \((x,y)\) din plan este tocmai o pereche din \(\mathbb R\\times\mathbb R\).

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(A\times B=\{(x,y)\mid x\in A,\ y\in B\}\).
  • Perechile \((a,b)\) și \((b,a)\) sînt în general diferite.
  • Dacă \(A\) și \(B\) sînt finite, \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\).

Reguli și legături importante

  • În \(A\times B\), prima coordonată vine din \(A\), a doua din \(B\).
  • În general \(A\times B\ne B\times A\).
  • \(\mathbb R\times\mathbb R\) poate fi identificat cu planul cartezian.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Listează elementele primei mulțimi.
  2. Pasul 2. Pentru fiecare element din prima mulțime, formează perechi cu toate elementele celei de-a doua.
  3. Pasul 3. Păstrează ordinea coordonatelor.
  4. Pasul 4. Verifică numărul perechilor prin produsul cardinalelor.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Fie \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b,c\}\). Determină \(A\times B\).

Pasul 1. Pentru elementul 1 formăm \((1,a),(1,b),(1,c)\).

Pasul 2. Pentru elementul 2 formăm \((2,a),(2,b),(2,c)\).

Pasul 3. Sînt \(2\cdot3=6\) perechi, exact cît prevede formula cardinalelor.

Concluzie. \(A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}\).

Greșeală frecventă

Nu scrie perechi neordonate. În produsul cartezian, \((1,a)\) nu este același obiect cu \((a,1)\).

Verificare rapidă

  • Dacă \(|A|=4\), \(|B|=3\), cîte elemente are \(A\times B\)?
    Vezi răspunsul

    12.

  • În \(A\times B\), de unde vine a doua coordonată?
    Vezi răspunsul

    Din \(B\).

  • Este \(A\times B=B\times A\) în general?
    Vezi răspunsul

    Nu.

Exerciții

1
Fie \(A=\{1,2\}\), \(B=\{x,y\}\). Cîte elemente are \(A\times B\)?

\(\displaystyle |A\times B|=|A|\cdot|B|\)

2
Scrie \(\{1\}\times\{a,b\}\).
3
Este \((2,a)=(a,2)\)?
4
Dacă \(|A|=4\), \(|B|=3\), cîte elemente are \(A\times B\)?
5
În \(A\times B\), de unde vine a doua coordonată?
6
Este \(A\times B=B\times A\) în general?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Fie \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b,c\}\). Determină \(A\times B\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu scrie perechi neordonate. În produsul cartezian, \((1,a)\) nu este același obiect cu \((a,1)\).” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor