A58 - Ecuații trigonometrice

Ideea lecției

O ecuație trigonometrică are de obicei infinit de multe soluții deoarece funcțiile trigonometrice sînt periodice. Rezolvarea înseamnă mai întîi reducerea la ecuații fundamentale și apoi descrierea tuturor unghiurilor corespunzătoare.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\sin x=a\) are soluții reale numai pentru \(|a|\le1\).
  • \(\cos x=a\) are soluții reale numai pentru \(|a|\le1\).
  • \(\tan x=a\) are soluția generală \(x=\arctan a+k\pi\).
  • Periodicitatea trebuie inclusă în răspuns prin \(k\in\mathbb Z\).

Reguli și legături importante

  • Pentru valori remarcabile, cercul trigonometric arată toate soluțiile dintr-o perioadă.
  • Factorizarea poate transforma o ecuație complicată într-o totalitate de ecuații fundamentale.
  • Nu împărți cu o expresie trigonometrică ce poate fi zero fără să tratezi separat cazul zero.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Simplifică identitățile și adu ecuația la funcții fundamentale.
  2. Pasul 2. Rezolvă în intervalul unei perioade folosind cercul.
  3. Pasul 3. Adaugă periodicitatea pentru toate soluțiile.
  4. Pasul 4. Verifică domeniul și cazurile pierdute prin împărțire.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(\sin x=1/2\).

Pasul 1. Într-o rotație, sinusul este \(1/2\) la \(x=\pi/6\) și \(x=5\pi/6\).

Pasul 2. Funcția sinus are perioada \(2\pi\).

Pasul 3. Soluțiile sînt \(x=\pi/6+2k\pi\) sau \(x=5\pi/6+2k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).

Concluzie. \(x=\displaystyle\frac\pi6+2k\pi\) sau \(x=\displaystyle\frac{5\pi}6+2k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).

Greșeală frecventă

Un singur unghi din primul cadran nu reprezintă toate soluțiile. Caută toate pozițiile de pe cerc și apoi adaugă periodicitatea.

Verificare rapidă

  • Poate \(\sin x=2\) avea soluții reale?
    Vezi răspunsul

    Nu.

  • Perioada tangentei?
    Vezi răspunsul

    \(\pi\).

  • Ce parametru apare în soluția generală?
    Vezi răspunsul

    \(k\in\mathbb Z\).

Exerciții

1
Rezolvă \(\cos x=1\).
2
Rezolvă \(\sin x=0\).
3
Rezolvă \(\tan x=1\).
4
Poate \(\sin x=2\) avea soluții reale?
5
Perioada tangentei?
6
Ce parametru apare în soluția generală?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(\sin x=1/2\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Un singur unghi din primul cadran nu reprezintă toate soluțiile. Caută toate pozițiile de pe cerc și apoi adaugă periodicitatea.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor