A55 - Formulele de adunare și scădere

Ideea lecției

Formulele pentru sinusul și cosinusul sumei/diferenței permit calcularea exactă a unghiurilor care nu sînt direct în tabelul valorilor remarcabile. Ele stau și la baza multor formule ulterioare.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\).
  • \(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\).
  • \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\).
  • \(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\).

Reguli și legături importante

  • Semnele la cosinus sînt „invers” față de semnul din paranteză.
  • Alege descompuneri în unghiuri remarcabile, de exemplu \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\).
  • Pentru tangentă există formula raportului corespunzător, cu condiții de existență.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Descompune unghiul în sumă/diferență de unghiuri cunoscute.
  2. Pasul 2. Scrie formula înainte de înlocuirea valorilor.
  3. Pasul 3. Înlocuiește valorile exacte.
  4. Pasul 4. Simplifică radicalii și fracțiile la final.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Calculează \(\sin75^\circ\).

Pasul 1. \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\).

Pasul 2. \(\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ\).

Pasul 3. Obținem \(\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\displaystyle\frac12=\displaystyle\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).

Concluzie. \(\sin75^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).

Greșeală frecventă

Nu folosi regula falsă \(\sin(\\alpha+\\beta)=\sin\\alpha+\sin\\beta\).

Verificare rapidă

  • În formula lui \(\cos(\alpha+\beta)\), semnul dintre produse este?
    Vezi răspunsul

    Minus.

  • \(75^\circ\) poate fi scris ca?
    Vezi răspunsul

    \(45^\circ+30^\circ\).

  • Este \(\sin(a+b)=\sin a+\sin b\)?
    Vezi răspunsul

    Nu.

Exerciții

1
Calculează \(\cos60^\circ\) folosind \(30^\circ+30^\circ\).

\(\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)

2
Scrie formula pentru \(\sin(a-b)\).
3
Calculează \(\cos(45^\circ-45^\circ)\).
4
În formula lui \(\cos(\alpha+\beta)\), semnul dintre produse este?
5
\(75^\circ\) poate fi scris ca?
6
Este \(\sin(a+b)=\sin a+\sin b\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Calculează \(\sin75^\circ\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu folosi regula falsă \(\sin(\\alpha+\\beta)=\sin\\alpha+\sin\\beta\).” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor