Ideea lecției
Ecuația liniară pare simplă, dar apar trei situații distincte atunci când coeficientul necunoscutei depinde de un parametru: soluție unică, nicio soluție sau infinit de multe soluții. Analiza coeficientului este mai importantă decît împărțirea automată.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- Ecuația \(ax+b=0\) are soluția \(x=-b/a\) dacă \(a\ne0\).
- Dacă \(a=0\) și \(b\ne0\), ecuația nu are soluții.
- Dacă \(a=0\) și \(b=0\), orice număr real este soluție.
Reguli și legături importante
- Cu parametru, determină mai întîi valorile pentru care coeficientul lui \(x\) se anulează.
- Nu împărți cu o expresie în parametru înainte să tratezi cazul în care ea este zero.
- Prezintă soluția pe cazuri, cu condițiile parametrului.
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Adu ecuația la forma \(A(p)x+B(p)=0\).
- Pasul 2. Rezolvă \(A(p)=0\) pentru valorile speciale ale parametrului.
- Pasul 3. Pentru \(A(p)\\ne0\), aplică formula soluției.
- Pasul 4. Pentru valorile speciale, analizează ecuația rămasă.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Rezolvă în funcție de \(m\): \((m-2)x=4\).
Pasul 1. Coeficientul lui \(x\) este \(m-2\).
Pasul 2. Dacă \(m\ne2\), putem împărți și obținem \(x=\displaystyle\frac4{m-2}\).
Pasul 3. Dacă \(m=2\), ecuația devine \(0=4\), falsă, deci nu are soluții.
Concluzie. Pentru \(m\ne2\), \(x=\displaystyle\frac4{m-2}\); pentru \(m=2\), \(S=\varnothing\).
Greșeală frecventă
Împărțirea cu \(m-2\) fără a separa cazul \(m=2\) pierde informație și poate produce o formulă fără sens.
Verificare rapidă
- Cîte soluții are \(0x+5=0\)?
Vezi răspunsul
- Cîte soluții are \(0x=0\)?
Vezi răspunsul
Infinit de multe, toate numerele reale.
- Ce verificăm înainte de împărțirea cu un coeficient parametric?
Vezi răspunsul
Dacă acel coeficient poate fi zero.
Exerciții
2
Pentru ce m ecuația \((m+1)x=0\) are toate numerele reale soluții?
3
Pentru \(m=3\), rezolvă \((m-1)x=8\).
4
Cîte soluții are \(0x+5=0\)?
5
Cîte soluții are \(0x=0\)?
6
Ce verificăm înainte de împărțirea cu un coeficient parametric?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă în funcție de \(m\): \((m-2)x=4\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Împărțirea cu \(m-2\) fără a separa cazul \(m=2\) pierde informație și poate produce o formulă fără sens.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.