A44 - Ecuații și inecuații iraționale

Ideea lecției

Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical. Strategia centrală este izolarea radicalului și ridicarea controlată la putere, urmată obligatoriu de verificare deoarece operația poate introduce soluții străine.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Pentru \(\sqrt{f(x)}=g(x)\), trebuie să avem \(f(x)\ge0\) și \(g(x)\ge0\).
  • După condiții, ecuația poate fi ridicată la pătrat: \(f(x)=g(x)^2\).
  • Soluțiile ecuației obținute trebuie verificate în ecuația inițială.

Reguli și legături importante

  • Izolează un singur radical înainte de ridicarea la pătrat.
  • Dacă rămîne un al doilea radical, repetă procesul cu noi condiții.
  • La inecuații cu radical, monotonia funcției radical permite uneori compararea radicanzilor, dar numai după verificarea semnelor și domeniului.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Scrie domeniul și condițiile de semn.
  2. Pasul 2. Izolează radicalul.
  3. Pasul 3. Ridică la pătrat și rezolvă ecuația/inecuația rezultată.
  4. Pasul 4. Verifică fiecare candidat în enunțul inițial.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(\sqrt{x+1}=x-1\).

Pasul 1. Condiții: \(x+1\ge0\) și \(x-1\ge0\), deci \(x\ge1\).

Pasul 2. Ridicăm la pătrat: \(x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1\), deci \(x^2-3x=0\).

Pasul 3. Candidații sînt 0 și 3; condiția \(x\ge1\) elimină 0, iar 3 verifică ecuația.

Concluzie. \(S=\{3\}\).

Greșeală frecventă

Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă fără condiții; verificarea finală nu este opțională.

Verificare rapidă

  • Ce condiție are \(\sqrt{f(x)}\)?
    Vezi răspunsul

    \(f(x)\ge0\).

  • De ce verificăm soluțiile?
    Vezi răspunsul

    Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine.

  • În \(\sqrt{f(x)}=g(x)\), ce semn trebuie să aibă \(g(x)\)?
    Vezi răspunsul

    Nenegativ.

Exerciții

1
Rezolvă \(\sqrt x=4\).
2
Rezolvă \(\sqrt{x-1}=0\).
3
Este \(x=-1\) soluție pentru \(\sqrt{x+2}=x+2\)?
4
Ce condiție are \(\sqrt{f(x)}\)?
5
De ce verificăm soluțiile?
6
În \(\sqrt{f(x)}=g(x)\), ce semn trebuie să aibă \(g(x)\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(\sqrt{x+1}=x-1\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă fără condiții; verificarea finală nu este opțională.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor