Ideea lecţiei
Dacă o funcţie porneşte şi se termină la aceeaşi înălţime pe un interval şi este suficient de regulată, undeva între capete trebuie să aibă tangentă orizontală.
În această lecţie construim ideea de la intuiţie la formulă. Nu presupunem că formula este „evidentă”: explicăm ce măsoară, ce condiţii are şi cum verifici că ai ales-o corect.
Noţiuni-cheie
- Condiţii: continuitate pe \([a,b]\), derivabilitate pe \((a,b)\), \(f(a)=f(b)\).
- Concluzie: există \(c\in(a,b)\) cu \(f^{\prime}(c)=0\).
- Toate ipotezele trebuie verificate.
Reguli şi formule
- Înainte de calcul, verifică toate condiţiile de existenţă şi ipotezele teoremei.
- Separă ideea matematică de calcul: întâi stabileşte de ce metodă ai nevoie, apoi efectuează operaţiile.
Metoda de lucru
- Pasul 1. Stabileşte datele, necunoscuta şi domeniul.
- Pasul 2. Alege definiţia sau formula relevantă.
- Pasul 3. Transformă expresia în paşi mici, justificând fiecare pas.
- Pasul 4. Verifică rezultatul în condiţiile iniţiale.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Aplică Rolle lui \(f(x)=x^2-1\) pe \([-1,1]\).
Pasul 1. Funcţia este polinom, deci continuă şi derivabilă.
Pasul 2. \(f(-1)=f(1)=0\).
Pasul 3. \(f^{\prime}(x)=2x\), iar \(f^{\prime}(0)=0\).
Concluzie. \(c=0\).
Greşeală frecventă
Nu aplica teorema dacă valorile la capete nu sunt egale.
Verificare rapidă
- Care este ideea centrală a lecţiei „Teorema lui Rolle”?
Vezi răspunsul
Condiţii: continuitate pe \([a,b]\), derivabilitate pe \((a,b)\), \(f(a)=f(b)\).
- Ce trebuie verificat înainte de a aplica formula sau teorema?
Vezi răspunsul
Domeniul de definiţie şi toate ipotezele/condiţiile metodei.
- Este suficient un rezultat numeric fără justificare?
Vezi răspunsul
Nu. În clasa a XI-a trebuie urmărit şi motivul pentru care transformarea este validă.
Exerciții
1
Aplică Rolle lui \(f(x)=x^2-1\) pe \([-1,1]\).
2
Formulează precis noţiunea principală din lecţia „Teorema lui Rolle”.
3
Precizează o proprietate importantă care trebuie verificată în acest tip de problemă.
4
Într-o singură propoziţie, ce problemă matematică rezolvă noţiunea „Teorema lui Rolle”?
5
Ce verifici înainte de aplicarea unei formule sau teoreme?
6
Este corect să ignorăm atenţionarea „Nu aplica teorema dacă valorile la capete nu sunt egale.”?
7
Rezolvă din nou, fără a consulta soluţia-model: Aplică Rolle lui \(f(x)=x^2-1\) pe \([-1,1]\).
8
Scrie ordinea logică a paşilor de rezolvare pentru o problemă tipică din această lecţie.
9
Un elev spune: „Pot aplica direct formula, fără să verific condiţiile.” În contextul lecţiei „Teorema lui Rolle”, este sigură această strategie?
10
Scrie un rezumat de două idei: definiţia centrală şi instrumentul principal de calcul/demonstraţie.