A44 - Derivatele tangentei şi cotangentei

Ideea lecţiei

Formulele pentru tangentă şi cotangentă rezultă din regula câtului aplicată lui \(\sin/\cos\) şi \(\cos/\sin\). Domeniul trebuie urmărit atent.

În această lecţie construim ideea de la intuiţie la formulă. Nu presupunem că formula este „evidentă”: explicăm ce măsoară, ce condiţii are şi cum verifici că ai ales-o corect.

Noţiuni-cheie

  • \((\tan x)^{\prime}=1/\cos^2x\).
  • \((\cot x)^{\prime}=-1/\sin^2x\).
  • Funcţiile nu sunt definite unde numitorii trigonometrice se anulează.

Reguli şi formule

  • \((\tan x)^{\prime}=\displaystyle\frac1{\cos^2x}\)
  • \((\cot x)^{\prime}=-\displaystyle\frac1{\sin^2x}\)
  • Înainte de calcul, verifică toate condiţiile de existenţă şi ipotezele teoremei.
  • Separă ideea matematică de calcul: întâi stabileşte de ce metodă ai nevoie, apoi efectuează operaţiile.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Stabileşte datele, necunoscuta şi domeniul.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula relevantă.
  3. Pasul 3. Transformă expresia în paşi mici, justificând fiecare pas.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul în condiţiile iniţiale.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Derivează \(f(x)=2\tan x\).

Pasul 1. Constanta 2 se păstrează.

Pasul 2. Aplicăm formula derivatei tangentei.

Concluzie. \(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{2}{\cos^2x}\).

Greşeală frecventă

Nu omite domeniul tangentei/cotangentei când rezolvi ecuaţii cu derivate.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Derivatele tangentei şi cotangentei”?
    Vezi răspunsul

    \((\tan x)^{\prime}=1/\cos^2x\).

  • Ce trebuie verificat înainte de a aplica formula sau teorema?
    Vezi răspunsul

    Domeniul de definiţie şi toate ipotezele/condiţiile metodei.

  • Este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Nu. În clasa a XI-a trebuie urmărit şi motivul pentru care transformarea este validă.

Exerciții

1
Derivează \(f(x)=2\tan x\).

\(\displaystyle (\tan x)^{\prime}=\displaystyle\frac1{\cos^2x}
(\cot x)^{\prime}=-\displaystyle\frac1{\sin^2x}\)

2
Formulează precis noţiunea principală din lecţia „Derivatele tangentei şi cotangentei”.
3
Scrie formula-cheie principală a lecţiei şi precizează când poate fi folosită.
4
Într-o singură propoziţie, ce problemă matematică rezolvă noţiunea „Derivatele tangentei şi cotangentei”?
5
Ce verifici înainte de aplicarea unei formule sau teoreme?
6
Este corect să ignorăm atenţionarea „Nu omite domeniul tangentei/cotangentei când rezolvi ecuaţii cu derivate.”?
7
Rezolvă din nou, fără a consulta soluţia-model: Derivează \(f(x)=2\tan x\).
8
Scrie ordinea logică a paşilor de rezolvare pentru o problemă tipică din această lecţie.
9
Un elev spune: „Pot aplica direct formula, fără să verific condiţiile.” În contextul lecţiei „Derivatele tangentei şi cotangentei”, este sigură această strategie?
10
Scrie un rezumat de două idei: definiţia centrală şi instrumentul principal de calcul/demonstraţie.
Înapoi Următor