A46 - Derivata funcţiei inverse

Ideea lecţiei

Funcţia inversă schimbă rolul variabilelor. Pantele tangentelor se inversează, de unde apare formula reciprocă a derivatelor.

În această lecţie construim ideea de la intuiţie la formulă. Nu presupunem că formula este „evidentă”: explicăm ce măsoară, ce condiţii are şi cum verifici că ai ales-o corect.

Noţiuni-cheie

  • Dacă \(f\) este inversabilă şi \(f^{\prime}(x_0)\ne0\), atunci derivata inversei în \(y_0=f(x_0)\) este reciprocă.
  • Formula cere condiţii locale de inversabilitate.
  • Aceasta explică derivatele funcţiilor inverse trigonometrice.

Reguli şi formule

  • \((f^{-1})^{\prime}(y_0)=\displaystyle\frac1{f^{\prime}(x_0)}\)
  • Înainte de calcul, verifică toate condiţiile de existenţă şi ipotezele teoremei.
  • Separă ideea matematică de calcul: întâi stabileşte de ce metodă ai nevoie, apoi efectuează operaţiile.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Stabileşte datele, necunoscuta şi domeniul.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula relevantă.
  3. Pasul 3. Transformă expresia în paşi mici, justificând fiecare pas.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul în condiţiile iniţiale.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Dacă \(f(x)=2x+3\), află derivata inversei.

Pasul 1. \(f^{-1}(x)=(x-3)/2\).

Pasul 2. Derivata este \(1/2\), în acord cu formula reciprocă.

Concluzie. \((f^{-1})^{\prime}(x)=\displaystyle\frac12\).

Greşeală frecventă

Nu folosi formula reciprocă dacă derivata funcţiei iniţiale este zero.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Derivata funcţiei inverse”?
    Vezi răspunsul

    Dacă \(f\) este inversabilă şi \(f^{\prime}(x_0)\ne0\), atunci derivata inversei în \(y_0=f(x_0)\) este reciprocă.

  • Ce trebuie verificat înainte de a aplica formula sau teorema?
    Vezi răspunsul

    Domeniul de definiţie şi toate ipotezele/condiţiile metodei.

  • Este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Nu. În clasa a XI-a trebuie urmărit şi motivul pentru care transformarea este validă.

Exerciții

1
Dacă \(f(x)=2x+3\), află derivata inversei.

\(\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(y_0)=\displaystyle\frac1{f^{\prime}(x_0)}\)

2
Formulează precis noţiunea principală din lecţia „Derivata funcţiei inverse”.
3
Scrie formula-cheie principală a lecţiei şi precizează când poate fi folosită.
4
Într-o singură propoziţie, ce problemă matematică rezolvă noţiunea „Derivata funcţiei inverse”?
5
Ce verifici înainte de aplicarea unei formule sau teoreme?
6
Este corect să ignorăm atenţionarea „Nu folosi formula reciprocă dacă derivata funcţiei iniţiale este zero.”?
7
Rezolvă din nou, fără a consulta soluţia-model: Dacă \(f(x)=2x+3\), află derivata inversei.
8
Scrie ordinea logică a paşilor de rezolvare pentru o problemă tipică din această lecţie.
9
Un elev spune: „Pot aplica direct formula, fără să verific condiţiile.” În contextul lecţiei „Derivata funcţiei inverse”, este sigură această strategie?
10
Scrie un rezumat de două idei: definiţia centrală şi instrumentul principal de calcul/demonstraţie.
Înapoi Următor