Proiecţia ortogonală trimite fiecare punct pe piciorul perpendicularei la plan. Proiecţia unui segment este în general mai scurtă şi depinde de unghiul segmentului cu planul.
În această lecţie construim ideea de la intuiţie la formulă. Nu presupunem că formula este „evidentă”: explicăm ce măsoară, ce condiţii are şi cum verifici că ai ales-o corect.
Noţiuni-cheie
Proiecţia ortogonală a unui punct pe plan este piciorul perpendicularei.
Proiecţia unei drepte oblice este o dreaptă.
Lungimea proiecţiei unui segment este \(AB\cos\varphi\), unde \(\varphi\) este unghiul segmentului cu planul.
Reguli şi formule
\(A_1B_1=AB\cos\varphi\)
Înainte de calcul, verifică toate condiţiile de existenţă şi ipotezele teoremei.
Separă ideea matematică de calcul: întâi stabileşte de ce metodă ai nevoie, apoi efectuează operaţiile.
Pasul 3. Aplică teorema cu toate condiţiile verificate.
Pasul 4. Verifică geometric sensul rezultatului.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Un segment de 10 cm formează un unghi de \(60^\circ\) cu planul. Lungimea proiecţiei?
Pasul 1. Aplicăm \(A_1B_1=AB\cos\varphi\).
Pasul 2. \(10\cdot\cos60^\circ=5\).
Concluzie. \(5\) cm.
Greşeală frecventă
Unghiul cu planul nu este complementul folosit fără justificare; defineşte-l prin dreaptă şi proiecţia ei.
Proiecţia ortogonală a segmentului este segmentul dintre proiecţiile capetelor.
Verificare rapidă
Care este ideea centrală a lecţiei „Proiecţia ortogonală pe un plan”?Vezi răspunsul
Proiecţia ortogonală a unui punct pe plan este piciorul perpendicularei.
Ce trebuie verificat înainte de a aplica formula sau teorema?Vezi răspunsul
Domeniul de definiţie şi toate ipotezele/condiţiile metodei.
Este suficient un rezultat numeric fără justificare?Vezi răspunsul
Nu. În clasa a XI-a trebuie urmărit şi motivul pentru care transformarea este validă.
Exerciții
1
Un segment de 10 cm formează un unghi de \(60^\circ\) cu planul. Lungimea proiecţiei?
\(\displaystyle A_1B_1=AB\cos\varphi\)
2
Formulează precis noţiunea principală din lecţia „Proiecţia ortogonală pe un plan”.
3
Scrie formula-cheie principală a lecţiei şi precizează când poate fi folosită.
4
Într-o singură propoziţie, ce problemă matematică rezolvă noţiunea „Proiecţia ortogonală pe un plan”?
5
Ce verifici înainte de aplicarea unei formule sau teoreme?
6
Este corect să ignorăm atenţionarea „Unghiul cu planul nu este complementul folosit fără justificare; defineşte-l prin dreaptă şi proiecţia ei.”?
7
Rezolvă din nou, fără a consulta soluţia-model: Un segment de 10 cm formează un unghi de \(60^\circ\) cu planul. Lungimea proiecţiei?
8
Scrie ordinea logică a paşilor de rezolvare pentru o problemă tipică din această lecţie.
9
Un elev spune: „Pot aplica direct formula, fără să verific condiţiile.” În contextul lecţiei „Proiecţia ortogonală pe un plan”, este sigură această strategie?
10
Scrie un rezumat de două idei: definiţia centrală şi instrumentul principal de calcul/demonstraţie.