A47 - Derivare logaritmică pentru funcţii de tip u(x)^v(x)

Ideea lecţiei

Când şi baza, şi exponentul depind de \(x\), logaritmarea transformă puterea într-un produs, care se derivează mai uşor.

În această lecţie construim ideea de la intuiţie la formulă. Nu presupunem că formula este „evidentă”: explicăm ce măsoară, ce condiţii are şi cum verifici că ai ales-o corect.

Noţiuni-cheie

  • Pentru \(y=u(x)^{v(x)}\) cu \(u(x)>0\), scriem \(\ln y=v\ln u\).
  • Derivăm implicit ambele părţi.
  • La final înmulţim cu \(y=u^v\).

Reguli şi formule

  • \(y^{\prime}=u^v\left(v^{\prime}\ln u+v\displaystyle\frac{u^{\prime}}u\right)\)
  • Înainte de calcul, verifică toate condiţiile de existenţă şi ipotezele teoremei.
  • Separă ideea matematică de calcul: întâi stabileşte de ce metodă ai nevoie, apoi efectuează operaţiile.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Stabileşte datele, necunoscuta şi domeniul.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula relevantă.
  3. Pasul 3. Transformă expresia în paşi mici, justificând fiecare pas.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul în condiţiile iniţiale.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Derivează \(y=x^x\), \(x>0\).

Pasul 1. Luăm logaritm: \(\ln y=x\ln x\).

Pasul 2. \(y^{\prime}/y=\ln x+1\).

Pasul 3. Înmulţim cu \(y=x^x\).

Concluzie. \(y^{\prime}=x^x(\ln x+1)\).

Greşeală frecventă

Logaritmarea reală cere baza pozitivă.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Derivare logaritmică pentru funcţii de tip u(x)^v(x)”?
    Vezi răspunsul

    Pentru \(y=u(x)^{v(x)}\) cu \(u(x)>0\), scriem \(\ln y=v\ln u\).

  • Ce trebuie verificat înainte de a aplica formula sau teorema?
    Vezi răspunsul

    Domeniul de definiţie şi toate ipotezele/condiţiile metodei.

  • Este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Nu. În clasa a XI-a trebuie urmărit şi motivul pentru care transformarea este validă.

Exerciții

1
Derivează \(y=x^x\), \(x>0\).

\(\displaystyle y^{\prime}=u^v\left(v^{\prime}\ln u+v\displaystyle\frac{u^{\prime}}u\right)\)

2
Formulează precis noţiunea principală din lecţia „Derivare logaritmică pentru funcţii de tip u(x)^v(x)”.
3
Scrie formula-cheie principală a lecţiei şi precizează când poate fi folosită.
4
Într-o singură propoziţie, ce problemă matematică rezolvă noţiunea „Derivare logaritmică pentru funcţii de tip u(x)^v(x)”?
5
Ce verifici înainte de aplicarea unei formule sau teoreme?
6
Este corect să ignorăm atenţionarea „Logaritmarea reală cere baza pozitivă.”?
7
Rezolvă din nou, fără a consulta soluţia-model: Derivează \(y=x^x\), \(x>0\).
8
Scrie ordinea logică a paşilor de rezolvare pentru o problemă tipică din această lecţie.
9
Un elev spune: „Pot aplica direct formula, fără să verific condiţiile.” În contextul lecţiei „Derivare logaritmică pentru funcţii de tip u(x)^v(x)”, este sigură această strategie?
10
Scrie un rezumat de două idei: definiţia centrală şi instrumentul principal de calcul/demonstraţie.
Înapoi Următor