A80 - Regula lui Cramer

Ideea lecţiei

Cramer exprimă soluţia unui sistem pătratic prin rapoarte de determinanţi atunci când determinantul matricei coeficienţilor este nenul.

În această lecţie construim ideea de la intuiţie la formulă. Nu presupunem că formula este „evidentă”: explicăm ce măsoară, ce condiţii are şi cum verifici că ai ales-o corect.

Noţiuni-cheie

  • Dacă \(\Delta\ne0\), sistemul are soluţie unică.
  • Fiecare necunoscută este raportul dintre un determinant modificat şi determinantul principal.
  • Metoda este potrivită mai ales pentru sisteme mici.

Reguli şi formule

  • \(x_i=\displaystyle\frac{\Delta_i}{\Delta}\quad(\Delta\ne0)\)
  • Înainte de calcul, verifică toate condiţiile de existenţă şi ipotezele teoremei.
  • Separă ideea matematică de calcul: întâi stabileşte de ce metodă ai nevoie, apoi efectuează operaţiile.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Stabileşte datele, necunoscuta şi domeniul.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula relevantă.
  3. Pasul 3. Transformă expresia în paşi mici, justificând fiecare pas.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul în condiţiile iniţiale.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă \(x+y=5,\ x-y=1\).

Pasul 1. Adunăm ecuaţiile sau aplicăm Cramer; determinantul este -2, nenul.

Pasul 2. Soluţia unică este \(x=3,y=2\).

Concluzie. \(x=3,y=2\).

Greşeală frecventă

Cramer nu se aplică direct când determinantul principal este zero.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Regula lui Cramer”?
    Vezi răspunsul

    Dacă \(\Delta\ne0\), sistemul are soluţie unică.

  • Ce trebuie verificat înainte de a aplica formula sau teorema?
    Vezi răspunsul

    Domeniul de definiţie şi toate ipotezele/condiţiile metodei.

  • Este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Nu. În clasa a XI-a trebuie urmărit şi motivul pentru care transformarea este validă.

Exerciții

1
Rezolvă \(x+y=5,\ x-y=1\).

\(\displaystyle x_i=\displaystyle\frac{\Delta_i}{\Delta}\quad(\Delta\ne0)\)

2
Formulează precis noţiunea principală din lecţia „Regula lui Cramer”.
3
Scrie formula-cheie principală a lecţiei şi precizează când poate fi folosită.
4
Într-o singură propoziţie, ce problemă matematică rezolvă noţiunea „Regula lui Cramer”?
5
Ce verifici înainte de aplicarea unei formule sau teoreme?
6
Este corect să ignorăm atenţionarea „Cramer nu se aplică direct când determinantul principal este zero.”?
7
Rezolvă din nou, fără a consulta soluţia-model: Rezolvă \(x+y=5,\ x-y=1\).
8
Scrie ordinea logică a paşilor de rezolvare pentru o problemă tipică din această lecţie.
9
Un elev spune: „Pot aplica direct formula, fără să verific condiţiile.” În contextul lecţiei „Regula lui Cramer”, este sigură această strategie?
10
Scrie un rezumat de două idei: definiţia centrală şi instrumentul principal de calcul/demonstraţie.
Înapoi Următor