A43 - Derivata produsului şi a câtului

Ideea lecţiei

Pentru produs şi cât, derivata nu se distribuie simplu. Regula produsului combină două contribuţii: variază primul factor şi variază al doilea.

În această lecţie construim ideea de la intuiţie la formulă. Nu presupunem că formula este „evidentă”: explicăm ce măsoară, ce condiţii are şi cum verifici că ai ales-o corect.

Noţiuni-cheie

  • \((fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}\).
  • \((f/g)^{\prime}=(f^{\prime}g-fg^{\prime})/g^2\).
  • La cât trebuie păstrată condiţia \(g\ne0\).

Reguli şi formule

  • \((fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}\)
  • \(\left(\displaystyle\frac fg\right)^{\prime}=\displaystyle\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}\)
  • Înainte de calcul, verifică toate condiţiile de existenţă şi ipotezele teoremei.
  • Separă ideea matematică de calcul: întâi stabileşte de ce metodă ai nevoie, apoi efectuează operaţiile.

Metoda de lucru

  1. Pasul 1. Stabileşte datele, necunoscuta şi domeniul.
  2. Pasul 2. Alege definiţia sau formula relevantă.
  3. Pasul 3. Transformă expresia în paşi mici, justificând fiecare pas.
  4. Pasul 4. Verifică rezultatul în condiţiile iniţiale.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Derivează \(f(x)=x^2e^x\).

Pasul 1. Aplicăm regula produsului.

Pasul 2. \(f^{\prime}=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)\).

Concluzie. \(f^{\prime}(x)=e^x(x^2+2x)\).

Greşeală frecventă

Nu folosi \((fg)^{\prime}=f^{\prime}g^{\prime}\); aceasta este falsă.

Verificare rapidă

  • Care este ideea centrală a lecţiei „Derivata produsului şi a câtului”?
    Vezi răspunsul

    \((fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}\).

  • Ce trebuie verificat înainte de a aplica formula sau teorema?
    Vezi răspunsul

    Domeniul de definiţie şi toate ipotezele/condiţiile metodei.

  • Este suficient un rezultat numeric fără justificare?
    Vezi răspunsul

    Nu. În clasa a XI-a trebuie urmărit şi motivul pentru care transformarea este validă.

Exerciții

1
Derivează \(f(x)=x^2e^x\).

\(\displaystyle (fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}
\left(\displaystyle\frac fg\right)^{\prime}=\displaystyle\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}\)

2
Formulează precis noţiunea principală din lecţia „Derivata produsului şi a câtului”.
3
Scrie formula-cheie principală a lecţiei şi precizează când poate fi folosită.
4
Într-o singură propoziţie, ce problemă matematică rezolvă noţiunea „Derivata produsului şi a câtului”?
5
Ce verifici înainte de aplicarea unei formule sau teoreme?
6
Este corect să ignorăm atenţionarea „Nu folosi \((fg)^{\prime}=f^{\prime}g^{\prime}\); aceasta este falsă.”?
7
Rezolvă din nou, fără a consulta soluţia-model: Derivează \(f(x)=x^2e^x\).
8
Scrie ordinea logică a paşilor de rezolvare pentru o problemă tipică din această lecţie.
9
Un elev spune: „Pot aplica direct formula, fără să verific condiţiile.” În contextul lecţiei „Derivata produsului şi a câtului”, este sigură această strategie?
10
Scrie un rezumat de două idei: definiţia centrală şi instrumentul principal de calcul/demonstraţie.
Înapoi Următor