Multimi
Ce sunt mulțimile?
Mulțimile sunt unul dintre cele mai fundamentale concepte din matematică, folosite pentru a grupa obiecte care au anumite caracteristici comune. Acestea pot fi elemente numerice, literale sau orice alt tip de obiecte bine definite.
Cardinalul unei mulțimi
Cardinalul unei mulțimi, notat cu card(A), reprezintă numărul total de elemente din acea mulțime.
Exemple:
- A = {-3, 4, 8, 10}
Cardinalul: card(A) = 4. - B = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 2}
Cardinalul: card(B) = 5, deoarece B = {-2, -1, 0, 1, 2}. - C = {x ∈ ℕ | x < 5}
Cardinalul: card(C) = 5, unde C = {0, 1, 2, 3, 4}.
Operații cu mulțimi
Reuniunea (∪)
Reuniunea a două mulțimi include toate elementele distincte din cele două mulțimi.
Exemplu: Dacă A = {1, 2, 3} și B = {1, 3, 5}, atunci:
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}.
Intersecția (∩)
Intersecția a două mulțimi include elementele comune celor două mulțimi.
Exemplu: Dacă A = {1, 2, 3} și B = {1, 3, 5}, atunci:
A ∩ B = {1, 3}.
Diferența (∖)
Diferența între două mulțimi include elementele care se află doar în prima mulțime, dar nu și în a doua.
Exemplu: Dacă A = {1, 2, 3} și B = {1, 3, 5}, atunci:
A ∖ B = {2}.
B ∖ A = {5}.
Mulțimi de numere
- ℕ (Numere naturale): ℕ = {0, 1, 2, 3, …}
- ℤ (Numere întregi): ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
- ℚ (Numere raționale): Numere care pot fi scrise sub forma a/b, unde a, b ∈ ℤ și b ≠ 0.
Ex: 1/2, -3, 0, 2.5. - ℝ (Numere reale): Include toate numerele raționale și iraționale (ex. √2, π).
Exerciții
- a) \( A \cup B \)
- b) \( A \cap C \)
- c) \( B \setminus C \)
- d) \( A \setminus C \)
- e) \( C \setminus (A \cap B) \)
- f) \( B \cap C \)
- g) \( C \cup A \)
- a) \( A \cap \mathbb{N} \)
- b) \( A \cap \mathbb{Z} \)
- c) \( A \cap \mathbb{Q} \)