Item 5 - exercitii de exersare
Exerciții
1
Aflați valoarea expresiei \(\displaystyle E=\frac{81: 9^{3}}{27^{-1}} \)
2
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle E=(2-\sqrt{3})^{2}+(2+\sqrt{3})^{2}-(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3}) \) este un număr întreg.
3
Determinați valoarea expresiei \(\displaystyle E=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\frac{3 \sqrt{10}}{2}-\sqrt{40} \)
4
Aflați valoarea expresiei \(\displaystyle E=\frac{10^{7} \cdot 2^{-3}}{5^{5} \cdot 2^{3}} \)
5
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle E=(3\sqrt{5}-1)^{2}+(\sqrt{5}+3)^{2} \) este un număr natural.
6
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E=\frac{16^{14}-7^{0}+1}{8^{18}} \)
7
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}-\frac{2}{\sqrt{7}+2} \)
8
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle E=\frac{12^{7} \cdot 8^{-4}}{3^{5}} \) este un număr natural pătrat perfect.
9
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E=\frac{15^{4}}{124 \cdot 3^{4}+3^{4}} \)
10
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle E=(4-\sqrt{3})^{2}+\frac{24}{\sqrt{3}} \) este un număr natural.
11
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{9^{15} + 15^0 - 1}{27^9} \)
12
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{12}{(1 + \sqrt{2})^2} \cdot \frac{6 + 4 \sqrt{2}}{3} \) este un număr natural.
13
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{125 : 25^2}{5^{-1}} \)
14
Fie numărul \(\displaystyle a = (1 - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} + 1)^2 - 2(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \). Arătați că \( \sqrt{a} \in \mathbb{N} \).
15
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = (\sqrt{3} - 4)^2 + (2 + 2\sqrt{3})^2 - (6 - \sqrt{2})(6 + \sqrt{2}) \).
16
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \)
17
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{3\sqrt{6}}{2} - \sqrt{24} \)
18
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{6^4 \cdot 2^{-2}}{2^2 \cdot 3^3} \)
19
Să se afle \( a + b \), unde \( a = 3\sqrt{2} \cdot (-5\sqrt{2}) + 29 \) și \( b = 6\sqrt{18} : (3\sqrt{2}) - 5 \).
20
Să se arate că valoarea expresiei \(\displaystyle E = (2\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 2)^2 \) este un număr natural.
21
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{3^{-5} \cdot 27^4}{9^3} \)
22
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{27^{13} - 5^0 + 1}{9^{19}} \)
23
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \left(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2 \).
24
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} - \frac{2}{\sqrt{5} + 2} \) este un număr natural.
25
Calculați valoarea expresiei \( E = (3\sqrt{12} - \sqrt{75}) \cdot \sqrt{3} \).
26
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{12^5 \cdot 8^{-3}}{3^5} \)
27
Comparați numerele:
\( a = \sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{200}, \quad b = \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} - \sqrt{27} \).
\( a = \sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{200}, \quad b = \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} - \sqrt{27} \).
28
Calculați valoarea expresiei \( \displaystyle E = \frac{15^4}{124 \cdot 3^4 + 3^4} \).
29
Calculați valoarea expresiei: \( E = |1 - \sqrt{2}| + \sqrt{(2\sqrt{2} - 4)^2} - 3(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \).
30
Arătați că valoarea expresiei \( \displaystyle E = (3 - \sqrt{5})^2 + \frac{30}{\sqrt{5}} \) este un număr natural.
31
Calculați valoarea expresiei \( \displaystyle E = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} \).
32
Calculați valoarea expresiei \( \displaystyle E = \frac{27^{13} - 27^{0} + 1}{9^{19}} \).
33
Calculați valoarea expresiei \( E = \sqrt{7 - 2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{7 + 2\sqrt{6}} \).
34
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{6}{\sqrt{5} + 3} - \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 3} \) este un număr natural.
35
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right) : \frac{3}{\sqrt{27}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \).
36
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle E = \left( \sqrt{12} + 3 - \frac{6}{\sqrt{3}} \right) \cdot \sqrt{1\frac{7}{9}} \) este un număr natural.
37
Calculați valoarea expresiei \(” E = (\sqrt{15} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{15} - \frac{5}{3} \cdot \sqrt{27} \).
38
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{4}{2 - \sqrt{2}} + 5 - \sqrt{8} \).
39
Să se afle valoarea expresiei \( E = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{12} - 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \).
40
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{6^4 \cdot 2^{-2}}{2^2 \cdot 3^3} \).
41
Se consideră numerele \( a = 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - 4\sqrt{75} \) și \( b = \sqrt{48} \). Să se afle \( a \cdot b^{-1} \).
42
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{4^8 + 48^0 - 1}{8^4} \).
43
Să se arate că numărul \( a=\sqrt{3+3\sqrt{5}} \cdot \sqrt{3\sqrt{5}-3} \) este natural.
44
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \sqrt{1\frac{3}{36}} \cdot \sqrt{1\frac{10}{39}} + \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} \).
45
Fie numărul \(\displaystyle a = \frac{2}{2\sqrt{5} + 4} - \frac{2}{2\sqrt{5} - 4} \). Să se afle \(\displaystyle a^{-2} \).
46
Să se afle valoarea expresiei \( E = \sqrt{28} \cdot \left(\sqrt{14} - \sqrt{7}\right) - 2\sqrt{98} \).
47
Fie numărul \(\displaystyle a = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{1}{4 - 2\sqrt{3}} \). Să se afle \( a^{-2} \).
48
Fie expresia \( E = (\sqrt{19} + 4)(\sqrt{19} - 4) - (\sqrt{2} - 1)^2 \). Calculați \( 2E - \sqrt{18} \).
49
Fie numărul \( a = (3\sqrt{5} - \sqrt{20}) \cdot \sqrt{5}. \) Să se afle \( a^{-2}. \)
50
Calculați valoarea expresiei: \(\displaystyle E = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{3}}{7 - \sqrt{7}} \cdot \sqrt{7} \)
51
Să se afle \(\displaystyle \frac{3}{4} \) din numărul \(\displaystyle a = (\sqrt{10} + \sqrt{5}) \cdot \sqrt{20} - 5\sqrt{8} \)
52
Să se afle valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} + \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}. \)
53
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{3^{-5} \cdot 3^{11}}{9^2} \).
54
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{4^{13} \cdot 2^{-10}}{16^3} \).
55
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} + \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} \).
56
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = \sqrt{225} + \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \sqrt{64} - 2,(3) : \frac{3}{4} \).
57
Calculați valoarea expresiei \(\displaystyle E = (4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) + (10 \cdot \sqrt{45}) : \sqrt{125} \).
58
\(\displaystyle \frac{9 \cdot 3^5}{27^2} \)
59
\(\displaystyle \frac{4^7 \cdot 8^{-3}}{3 \cdot 2^3 + 2^3} \)
60
\(\displaystyle \frac{125 \cdot 5^5}{25^4} \)
61
\(\displaystyle \frac{2^{23}}{4^3 \cdot 8^5} \)
62
\(\displaystyle \frac{18 \cdot 9^5}{3^{12}} \)
63
\(\displaystyle \frac{4^{-2} \cdot 16^2}{2^3} \)
64
\(\displaystyle \frac{2^3 \cdot 4^{-2}}{8^{-1}} \)
65
\(\displaystyle \frac{25^3 \cdot 125^{-3}}{5^{-4}} \)
66
\(\displaystyle \frac{125 : 25^2}{5^{-1}} \)
67
\(\displaystyle \frac{2^{-2} \cdot 8^4}{16^2} \)
68
\(\displaystyle \frac{15^4}{124 \cdot 3^4 + 3^4} \)
69
\(\displaystyle \frac{6^4 \cdot 2^{-2}}{2^2 \cdot 3^3} \)
70
\(\displaystyle \frac{12^5 \cdot 8^{-3}}{3^5} \)
71
\(\displaystyle \frac{27^{13} - 5^0 + 1}{9^{19}} \)
72
\(\displaystyle \frac{4^8 + 25^0 - 1}{8^4} \)
73
\( \displaystyle \frac{15 \cdot 9^4}{3^9}\)
74
\( \displaystyle \frac{5^{24}}{25^4 \cdot 125^5}\)
75
\(\displaystyle \frac{64 \cdot 4^5}{16^4}\)
76
\(\displaystyle \frac{9^{-3} \cdot 27^3}{3^4}\)
77
\(\displaystyle \frac{4 \cdot 2^6}{8^3}\)
78
\(\displaystyle \frac{125 : 5^3}{5}\)
79
\(\displaystyle \frac{2^{-3} \cdot 4}{2^{-5}}\)
80
\(\displaystyle \frac{9^{-2} \cdot 27}{3^4}\)
81
\(\displaystyle \frac{4 \cdot 2^{-3}}{16 \cdot 2^{-5}}\)
82
\(\displaystyle \frac{5^3 \cdot 5^{-5}}{5^{-4}}\)
83
\(\displaystyle \frac{3^6}{(3^{-5} \cdot 27)^{-2}}\)
84
\(\displaystyle \frac{25^5 \cdot (5^{-2})^4}{5^3}\)
85
\(\displaystyle \frac{2^{25}}{4^3 \cdot 8^{5}}\)
86
\(\displaystyle \frac{18 \cdot 9^5}{3^{12}}\)
87
\(\displaystyle \frac{125^5 \cdot 5^5}{25^4}\)
88
\(\displaystyle \frac{4^{-2} \cdot 16^2}{2^3}\)
89
\(\displaystyle \frac{3^6 + 3^0 - 1}{9^2 \cdot 3}\)
90
Să se arate că valoarea expresiei \(\displaystyle \left(2\sqrt{3} - 1\right)^2 + \left(\sqrt{3} + 2\right)^2 \) este un număr natural.
91
Calculați valoarea expresiei: \(\displaystyle \left(\sqrt{3} - 4\right)^2 + \left(2 + 2\sqrt{3}\right)^2 - \left(6 - \sqrt{2}\right)\left(6 + \sqrt{2}\right) \).
92
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle \frac{3 - \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}} + \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} \) este un număr natural.
93
Calculați: \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - 2\sqrt{3} \).
94
Calculați: \(\displaystyle \frac{4}{2 + \sqrt{2}} - 5 + 2\sqrt{2} \).
95
Calculați: \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \).
96
Calculați: \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} + \frac{2}{2 + \sqrt{5}} \).
97
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \) este număr rațional.
98
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle 6 - \sqrt{8} - \frac{\sqrt{50} - 4}{\sqrt{2}} \) este număr natural.
99
Arătați că valoarea expresiei \(\displaystyle 3 - 2\sqrt{2} - \frac{7}{1 - 2\sqrt{2}}\) este număr natural.
100
Calculați: \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{3\sqrt{6}}{2} - \sqrt{24} \).
101
Calculați: \(\displaystyle \frac{9^{-1}}{3^{-3}} - \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \).
102
Calculați valoarea expresiei: \(\displaystyle \sqrt{75} - \sqrt{12} - \frac{9}{\sqrt{3}} \).
103
Arătați că valoarea expresiei: \(\displaystyle \left( \sqrt{12} + 3 - \frac{6}{\sqrt{3}} \right) \cdot \sqrt{1\frac{7}{9}}\) este un număr natural.
104
Calculați valoarea expresiei: \(\displaystyle \frac{4}{2-\sqrt{2}} + 5 - \sqrt{8} \).
105
Arătați că valoarea expresiei: \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} - \frac{2}{\sqrt{5}+2} \) este număr natural.
106
Arătați că valoarea expresiei: \(\displaystyle (3 - \sqrt{5})^2 + \frac{30}{\sqrt{5}} \) este număr natural.
107
Arătați că valoarea expresiei: \(\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}+3} - \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-3} \) este număr natural.
108
Calculați: \(\displaystyle \frac{12}{3 + \sqrt{3}} - 8 + 2\sqrt{3}\)
109
Calculați: \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{8}} + 2\sqrt{7}\)
110
Calculați: \(\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{3 - \sqrt{11}} + \frac{3}{3 + \sqrt{11}}\)
111
Calculați: \(\displaystyle \frac{3}{2 - \sqrt{7}} - 3\sqrt{7} + 5\)
112
Calculați: \(\displaystyle \frac{2}{5}(\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} + 4)\)
113
Calculați: \(\displaystyle \frac{8}{3 + \sqrt{5}} - 4 + 2\sqrt{5}\)
114
Calculați: \(\displaystyle \frac{14}{3 + \sqrt{2}} - 5 + 2\sqrt{2}\)
115
Calculați: \(\displaystyle \frac{5 - \sqrt{7}}{5 + \sqrt{7}} + \frac{5 + \sqrt{7}}{5 - \sqrt{7}}\)
116
Calculați: \(\displaystyle \frac{4}{2 + \sqrt{5}} + 5\sqrt{5} - 4\sqrt{5}\)
117
Calculați: \(\displaystyle (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\)
118
Calculați: \(\displaystyle \frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} - \frac{2}{5 - 2\sqrt{6}}\)
119
Calculați: \(\displaystyle \frac{8}{1 - \sqrt{5}} + \sqrt{(4 - 2\sqrt{5})^2}\)
120
Calculați: \(\displaystyle \frac{13 - 4\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1} + 1\)
121
Calculați: \(\displaystyle \frac{10}{3 - \sqrt{19}} + 7 + \sqrt{19}\)
122
Calculați: \(\displaystyle \frac{4}{2 + \sqrt{2}} - 5 + 2\sqrt{2}\)
123
Calculați: \(\displaystyle \frac{10}{\sqrt{6} + 1} + 3 - 2\sqrt{6}\)
124
Calculați: \(\displaystyle \frac{19}{2\sqrt{5} - 1} + 2 - 2\sqrt{5}\)
125
Calculați: \(\displaystyle \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} + 6 - 2\sqrt{2}\)
126
Calculați: \(\displaystyle \frac{7 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} + 6 + 3\sqrt{5}\)
127
Calculați: \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2 - \sqrt{6}\)
128
Calculați: \(\displaystyle \frac{8}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} - \sqrt{6} + 2\sqrt{2}\)
129
Calculați: \(\displaystyle \frac{22}{\sqrt{13} - \sqrt{2}} + \sqrt{13} - \sqrt{8}\)
130
Calculați: \(\displaystyle (4 - \sqrt{3})^2 + (4 + \sqrt{3})^2 - 2(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})\)
131
Calculați: \(\displaystyle 2,5(4 + 2\sqrt{7}) - (\sqrt{7} + 3)^2 + \left|2 - \sqrt{7}\right|\)