Ecuații și sisteme de ecuații
Ecuații și sisteme de ecuații
O ecuație este o egalitate care conține una sau mai multe necunoscute. Scopul este să găsim valorile necunoscutei (sau necunoscutelor) pentru care egalitatea devine adevărată.
Definiție
O ecuație cu necunoscuta \( x \) este o egalitate de forma:
\[ E(x) = F(x), \]unde \( E(x) \) și \( F(x) \) sunt expresii algebrice. Orice număr real \( x_0 \) pentru care ecuația devine adevărată se numește soluție a ecuației.
Ecuații de gradul I cu o necunoscută
O ecuație de gradul I cu o necunoscută este de forma:
Soluția este:
\[ x = -\dfrac{b}{a}. \]Exemplu 1: Rezolvați ecuația \( 3x - 9 = 0 \).
\( 3x - 9 = 0 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = \dfrac{9}{3} = 3 \).
Răspuns: \( x = 3 \).
Exemplu 2: Rezolvați ecuația \( 5 - 2x = 1 \).
\( 5 - 2x = 1 \Rightarrow -2x = 1 - 5 = -4 \Rightarrow x = \dfrac{-4}{-2} = 2 \).
Răspuns: \( x = 2 \).
Ecuații de gradul II cu o necunoscută
O ecuație de gradul II cu o necunoscută este de forma:
Se calculează discriminantul:
\[ \Delta = b^2 - 4ac. \]- dacă \( \Delta \gt 0 \) – două soluții reale distincte;
- dacă \( \Delta = 0 \) – o soluție reală (dublă);
- dacă \( \Delta \lt 0 \) – nu are soluții reale.
Dacă \( \Delta \ge 0 \), soluțiile sunt:
\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}. \]Exemplu 3: Rezolvați ecuația \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
\( a = 1, \ b = -5, \ c = 6 \).
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \gt 0 \).
\[
x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}
\Rightarrow x_1 = 3, \ x_2 = 2.
\]
Răspuns: \( x_1 = 3, \ x_2 = 2 \).
Teorema lui Viète
Pentru ecuația \[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0, \] cu rădăcini reale \( x_1 \) și \( x_2 \), sunt valabile relațiile:
- \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \);
- \( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \).
Exemplu 4: Găsiți o ecuație de gradul II cu rădăcinile \( x_1 = 1 \) și \( x_2 = 4 \).
Folosim Viète: \[ x_1 + x_2 = 1 + 4 = 5, \qquad x_1 x_2 = 1 \cdot 4 = 4. \] Putem lua \( a = 1 \), deci: \[ -\dfrac{b}{a} = 5 \Rightarrow b = -5, \quad \dfrac{c}{a} = 4 \Rightarrow c = 4. \] Ecuația este: \[ x^2 - 5x + 4 = 0. \]
Ecuații cu două necunoscute
O ecuație cu două necunoscute, de exemplu \[ ax + by = c, \] are, în general, infinit de soluții. Pentru a determina valori unice pentru \( x \) și \( y \) avem nevoie, de obicei, de un sistem de două ecuații.
Sisteme de ecuații
Un sistem de ecuații conține două sau mai multe ecuații cu aceleași necunoscute.
Sistemul de două ecuații de gradul I cu două necunoscute:
\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2, \end{cases} \quad a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \in \mathbb{R}. \]Soluția sistemului este perechea \( (x,y) \) care verifică simultan ambele ecuații.
Metoda substituției (înlocuirii)
- Pasul 1: izolăm o necunoscută dintr-o ecuație (de exemplu \( x = \dots \) sau \( y = \dots \)).
- Pasul 2: înlocuim acea expresie în cealaltă ecuație.
- Pasul 3: rezolvăm ecuația obținută, apoi revenim și găsim cealaltă necunoscută.
Exemplu 5 (substituție):
\[ \begin{cases} x + y = 7, \\ 2x - y = 4. \end{cases} \]
Din prima ecuație: \( x = 7 - y \).
Înlocuim în a doua:
\[
2(7 - y) - y = 4 \Rightarrow 14 - 2y - y = 4 \Rightarrow 14 - 3y = 4.
\]
\[
-3y = 4 - 14 = -10 \Rightarrow y = \dfrac{-10}{-3} = \dfrac{10}{3}.
\]
Atunci:
\[
x = 7 - \dfrac{10}{3} = \dfrac{21}{3} - \dfrac{10}{3} = \dfrac{11}{3}.
\]
Răspuns: \( (x,y) = \left(\dfrac{11}{3}, \dfrac{10}{3}\right) \).
Metoda reducerii (adunării / scăderii)
- Înmulțim ecuațiile (dacă este nevoie) astfel încât coeficienții lui \( x \) sau \( y \) să devină opuși sau egali.
- Adunăm sau scădem ecuațiile pentru a elimina o necunoscută.
- Rezolvăm pentru cealaltă necunoscută, apoi o găsim și pe prima.
Exemplu 6 (reducere):
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 16, \\ x - 2y = 2. \end{cases} \]
Observăm că termenii cu \( y \) au coeficienți opuși: \( 2y \) și \( -2y \).
Adunăm ecuațiile:
\[
(3x + 2y) + (x - 2y) = 16 + 2 \Rightarrow 4x = 18 \Rightarrow x = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}.
\]
Înlocuim în a doua ecuație:
\[
\dfrac{9}{2} - 2y = 2 \Rightarrow -2y = 2 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{9}{2} = -\dfrac{5}{2}.
\]
\[
y = \dfrac{-5/2}{-2} = \dfrac{5}{4}.
\]
Răspuns: \( (x,y) = \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{4}\right) \).
Ecuații raționale
O ecuație rațională conține fracții algebrice (numărător și numitor polinoame). Exemplu general:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}, \quad Q(x) \ne 0, \ S(x) \ne 0. \]- Se stabilesc condițiile de existență (numitorii diferiți de zero).
- Se aduce ecuația la o ecuație polinomială, prin înmulțire cu un numitor comun.
- Se rezolvă ecuația obținută.
- Se verifică dacă soluțiile nu încalcă condițiile de existență.
Exemplu 7 (ecuație rațională): Rezolvați \[ \frac{x+1}{x-1} = 2. \]
Condiție de existență: \( x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \).
Rezolvare:
\[
\frac{x+1}{x-1} = 2 \Rightarrow x+1 = 2(x-1) \Rightarrow x+1 = 2x - 2.
\]
\[
1 + 2 = 2x - x \Rightarrow 3 = x.
\]
Verificăm condiția: \( x = 3 \ne 1 \) – acceptată.
Răspuns: \( x = 3 \).
Rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor de ecuații
Multe probleme de tip „text” se pot rezolva transformând informațiile date în sisteme de ecuații.
- Se notează necunoscutele (de exemplu, două numere, două prețuri, două cantități) cu \( x, y \).
- Se traduc relațiile din enunț în ecuații.
- Se rezolvă sistemul obținut prin una dintre metode (substituție sau reducere).
- Se interpretează rezultatele obținute în contextul problemei.
Exemplu 8 (problemă cu sistem):
Suma a două numere este 20, iar diferența lor este 4. Găsiți numerele.
Notăm cu \( x \) primul număr, cu \( y \) al doilea număr.
Din enunț: \[ \begin{cases} x + y = 20, \\ x - y = 4. \end{cases} \]
Adunăm ecuațiile: \[ (x + y) + (x - y) = 20 + 4 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12. \] Înlocuim în prima ecuație: \[ 12 + y = 20 \Rightarrow y = 8. \]
Răspuns: Numerele sunt \( 12 \) și \( 8 \).
Exemplu 9 (problemă cu prețuri):
Două caiete și un stilou costă în total 19 lei. Un caiet și două stilouri costă 16 lei. Aflați prețul unui caiet și al unui stilou.
Notăm: \( x \) – prețul unui caiet (lei), \( y \) – prețul unui stilou (lei).
Din enunț: \[ \begin{cases} 2x + y = 19, \\ x + 2y = 16. \end{cases} \]
Putem folosi metoda reducerii. Înmulțim a doua ecuație cu 2: \[ \begin{cases} 2x + y = 19, \\ 2x + 4y = 32. \end{cases} \] Scădem prima ecuație din a doua: \[ (2x + 4y) - (2x + y) = 32 - 19 \Rightarrow 3y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{3}. \] Înlocuim în prima ecuație: \[ 2x + \dfrac{13}{3} = 19 \Rightarrow 2x = 19 - \dfrac{13}{3} = \dfrac{57}{3} - \dfrac{13}{3} = \dfrac{44}{3}. \] \[ x = \dfrac{44}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{22}{3}. \]
Răspuns: Caietul costă \( \dfrac{22}{3} \) lei, stiloul costă \( \dfrac{13}{3} \) lei.