Poliedre

Poliedre

Un poliedru este un corp geometric limitat numai de poligoane plane. Fiecare poligon se numește față, laturile poligoanelor se numesc muchii, iar vârfurile poligoanelor se numesc vârfuri ale poliedrului.

  • Față – un poligon (triunghi, patrulater, etc.).
  • Muchie – segment comun la două fețe alăturate.
  • Vârf – punct comun la cel puțin trei fețe.

Exemplu de poliedre: prisma, piramida, cubul, paralelipipedul dreptunghic.

Prisma

O prismă este un poliedru cu două fețe opuse congruente și paralele, numite baze, iar celelalte fețe sunt paralelograme (sau dreptunghiuri la prisma dreaptă), numite fețe laterale.

Elementele unei prisme

  • baza – poligonul de jos și cel de sus (congruente);
  • înălțimea \( h \) – distanța dintre cele două baze;
  • aria bazei – \( A_b \);
  • aria laterală – \( A_l \);
  • aria totală – \( A_t \);
  • volumul – \( V \).

Prismă dreaptă cu bază triunghiulară

Formule pentru prisma (aria notată cu \( A \))

  • Aria bazei: \[ A_b = \text{aria poligonului de bază}. \]
  • Aria laterală: \[ A_l = P_b \cdot h, \] unde \( P_b \) este perimetrul bazei, \( h \) este înălțimea prismei.
  • Aria totală: \[ A_t = A_l + 2A_b. \]
  • Volumul: \[ V = A_b \cdot h. \]

Exemplu 1 (prismă):

O prismă dreaptă are baza un triunghi cu aria \( A_b = 20\,\text{cm}^2 \) și înălțimea prismei \( h = 7\,\text{cm} \). Calculați volumul prismei.

\[ V = A_b \cdot h = 20 \cdot 7 = 140\,\text{cm}^3. \]

Răspuns: \( V = 140\,\text{cm}^3 \).

Piramida

O piramidă este un poliedru format dintr-un poligon de bază și un punct numit vârf, astfel încât toate laturile poligonului de bază sunt unite cu vârful prin segmente. Fețele laterale sunt triunghiuri.

Elementele piramidei

  • baza – poligonul de jos (aria lui este \( A_b \));
  • înălțimea piramidei \( h \) – distanța de la vârf la planul bazei;
  • fețe laterale – triunghiuri cu vârful comun (vârful piramidei);
  • aria laterală – \( A_l \);
  • aria totală – \( A_t \);
  • volumul – \( V \).

Piramidă cu bază pătrată

Formule pentru piramidă (aria notată cu \( A \))

  • Aria bazei: \[ A_b = \text{aria poligonului de bază}. \]
  • Aria laterală \( A_l \) – suma ariilor tuturor fețelor laterale (triunghiuri).
  • Aria totală: \[ A_t = A_b + A_l. \]
  • Volumul: \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3}, \] unde \( h \) este înălțimea piramidei.

Exemplu 2 (piramidă):

O piramidă are baza un pătrat cu latura \( a = 6\,\text{cm} \), iar înălțimea piramidei este \( h = 9\,\text{cm} \). Calculați volumul.

Aria bazei: \[ A_b = a^2 = 6^2 = 36\,\text{cm}^2. \] Volumul: \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} = \frac{36 \cdot 9}{3} = \frac{324}{3} = 108\,\text{cm}^3. \]

Răspuns: \( V = 108\,\text{cm}^3 \).

Trunchiul de piramidă

Un trunchi de piramidă se obține prin secționarea unei piramide cu un plan paralel cu baza sa, și păstrarea părții dintre baza inițială și secțiune.

  • Are două baze: baza mare și baza mică (poligoane similare și paralele).
  • Fețele laterale sunt, în general, trapeze.

Trunchi de piramidă cu baze poligonale

Formule pentru trunchiul de piramidă (aria notată cu \( A \))

  • Aria bazei mari: \( A_1 \).
  • Aria bazei mici: \( A_2 \).
  • Aria laterală: \( A_l \) – suma ariilor fețelor laterale (trapeze).
  • Aria totală: \[ A_t = A_1 + A_2 + A_l. \]
  • Volumul (formulă teoretică, importantă de știut): \[ V = \frac{h}{3} \left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right), \] unde \( h \) este înălțimea trunchiului de piramidă.

Exemplu 3 (trunchi de piramidă):

Un trunchi de piramidă are aria bazei mari \( A_1 = 64\,\text{cm}^2 \), aria bazei mici \( A_2 = 16\,\text{cm}^2 \) și înălțimea \( h = 9\,\text{cm} \). Calculați volumul.

\[ V = \frac{h}{3} \left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right) = \frac{9}{3} \left(64 + 16 + \sqrt{64 \cdot 16}\right). \] \[ \sqrt{64 \cdot 16} = \sqrt{1024} = 32. \] \[ V = 3 \cdot (64 + 16 + 32) = 3 \cdot 112 = 336\,\text{cm}^3. \]

Răspuns: \( V = 336\,\text{cm}^3 \).

Înapoi Următor