Operații cu numere reale

Operații cu numere reale

Mulțimea numerelor reale \( \mathbb{R} \) este închisă față de operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire (cu excepția împărțirii la zero). Asta înseamnă că, dacă \( a,b \in \mathbb{R} \), atunci:

  • \( a + b \in \mathbb{R} \);
  • \( a - b \in \mathbb{R} \);
  • \( a \cdot b \in \mathbb{R} \);
  • \( \dfrac{a}{b} \in \mathbb{R} \), dacă \( b \ne 0 \).

Proprietăți ale adunării și înmulțirii în \( \mathbb{R} \)

  • Comutativitate:
    \( a + b = b + a \), \( a \cdot b = b \cdot a \).
  • Asociativitate:
    \( (a + b) + c = a + (b + c) \),
    \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \).
  • Element neutru:
    pentru adunare: \( a + 0 = a \);
    pentru înmulțire: \( a \cdot 1 = a \).
  • Element opus și invers:
    pentru orice \( a \in \mathbb{R} \), există \( -a \) astfel încât \( a + (-a) = 0 \);
    pentru orice \( a \in \mathbb{R}^* \), există \( \dfrac{1}{a} \) astfel încât \( a \cdot \dfrac{1}{a} = 1 \).
  • Distributivitate:
    \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \).

Ordinea efectuării operațiilor

Atunci când o expresie conține mai multe operații, acestea se efectuează într-o ordine clară, pentru a obține același rezultat de fiecare dată.

Reguli de calcul (ordinea operațiilor)

  1. Paranteze: se calculează mai întâi ce este în paranteze \( (\,) \), apoi \( [\,] \), apoi \( \{\,\} \).
  2. Potențele și rădăcinile.
  3. Înmulțirea și împărțirea, de la stânga la dreapta.
  4. Adunarea și scăderea, de la stânga la dreapta.

Exemplu 1: Calculați \( 3 + 5 \cdot 2 \).

Mai întâi înmulțirea:
\( 5 \cdot 2 = 10 \).
Apoi adunarea:
\( 3 + 10 = 13 \).

Răspuns: \( 13 \).

Exemplu 2: Calculați \( (4 - 1) \cdot 3 + 8 : 2 \).

1. Paranteza: \( 4 - 1 = 3 \).
2. Înmulțire: \( 3 \cdot 3 = 9 \).
3. Împărțire: \( 8 : 2 = 4 \).
4. Adunare: \( 9 + 4 = 13 \).

Răspuns: \( 13 \).

Operații cu numere reale: exemple

  • Adunare: \( -3,5 + 2,1 = -1,4 \).
  • Scădere: \( 7 - (-2) = 7 + 2 = 9 \).
  • Înmulțire: \( (-4) \cdot 2,5 = -10 \).
  • Împărțire: \( \dfrac{-6}{1,5} = -4 \).

Exemplu 3 (distributivitate): Simplificați expresia \( 2(3 - 5,5) + 4 \cdot 1,5 \).

1. Calculăm în paranteză: \( 3 - 5,5 = -2,5 \).
2. Înmulțim: \( 2 \cdot (-2,5) = -5 \).
3. Înmulțim: \( 4 \cdot 1,5 = 6 \).
4. Adunăm: \( -5 + 6 = 1 \).

Răspuns: \( 1 \).

Compararea numerelor reale

Pentru două numere reale \( a \) și \( b \), putem avea una dintre relațiile: \( a < b \), \( a = b \), \( a > b \). Pe axa numerelor reale:

  • dacă punctul lui \( a \) este la stânga punctului lui \( b \), atunci \( a < b \);
  • dacă punctul lui \( a \) este la dreapta punctului lui \( b \), atunci \( a > b \).

Reguli utile pentru comparare

  • Dacă \( a > b \), atunci \( a + c > b + c \), pentru orice \( c \in \mathbb{R} \).
  • Dacă \( a > b \) și \( c > 0 \), atunci \( a \cdot c > b \cdot c \).
  • Dacă \( a > b \) și \( c < 0 \), atunci \( a \cdot c < b \cdot c \) (sensul inegalității se schimbă).
  • Pentru numere pozitive, dacă \( 0 < a < b \), atunci \( \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b} \).

Exemplu 4: Comparați numerele \( -2,5 \) și \( -1,3 \).

Pe axă, \( -2,5 \) este mai la stânga decât \( -1,3 \), deci:
\( -2,5 < -1,3 \).

Răspuns: \( -2,5 < -1,3 \).

Exemplu 5: Arătați că \( 0,4 < \dfrac{1}{2} \).

Scriem ambele numere în aceeași formă:
\( 0,4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \),
\( \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} \).
Comparăm fracțiile cu același numitor: \( \dfrac{4}{10} < \dfrac{5}{10} \).
Deci \( 0,4 < \dfrac{1}{2} \).

Răspuns: \( 0,4 < \dfrac{1}{2} \).

Exemplu 6 (exercițiu mixt): Calculați și comparați rezultatele:

\( A = 3 - 2,5 \cdot 4 \),   \( B = \dfrac{1}{2} - 3 \).

Pentru \( A \):
\( 2,5 \cdot 4 = 10 \),
\( 3 - 10 = -7 \), deci \( A = -7 \).

Pentru \( B \):
\( \dfrac{1}{2} - 3 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{6}{2} = -\dfrac{5}{2} = -2,5 \), deci \( B = -2,5 \).

Comparam: \( -7 < -2,5 \), deci \( A < B \).

Răspuns: \( A < B \).

Înapoi Următor