Arii
Noțiunea de arie
În geometrie, aria unei figuri plane reprezintă o mărime numerică ce exprimă mărimea suprafeței acelei figuri. Aria se măsoară în unități de suprafață (cm\(^2\), m\(^2\), mm\(^2\) etc.).
Aria dreptunghiului
Pentru un dreptunghi cu lungimea \( a \) și lățimea \( b \), aria este:
\[ A_{dreptunghi} = a \cdot b. \]Pentru un pătrat cu latura \( a \), aria este:
\[ A_{pătrat} = a^2. \]Dreptunghi cu laturile \( a \) și \( b \)
Exemplu 1: Un dreptunghi are laturile \( a = 5\,\text{cm} \) și \( b = 3\,\text{cm} \). Aria este:
\[ A = a \cdot b = 5 \cdot 3 = 15\,\text{cm}^2. \]
Aria paralelogramului
Un paralelogram este un patrulater cu laturile opuse paralele două câte două.
Formula ariei paralelogramului
Fie un paralelogram cu baza \( b \) și înălțimea \( h \) (înălțimea este distanța dintre baza aleasă și latura opusă). Atunci:
\[ A_{paralelogram} = b \cdot h. \]Paralelogram cu baza \( b \) și înălțimea \( h \)
Exemplu 2: Un paralelogram are baza \( b = 8\,\text{cm} \) și înălțimea \( h = 4\,\text{cm} \) corespunzătoare acestei baze.
\[ A = b \cdot h = 8 \cdot 4 = 32\,\text{cm}^2. \]
Răspuns: aria paralelogramului este \( 32\,\text{cm}^2 \).
Aria triunghiului
Triunghiul este un poligon cu trei laturi.
Formula de bază
Pentru un triunghi cu baza \( b \) și înălțimea \( h \) (înălțimea dusă din vârful opus pe baza \( b \)), avem:
\[ A_{triunghi} = \frac{b \cdot h}{2}. \]Triunghi cu baza \( b \) și înălțimea \( h \)
Exemplu 3: Un triunghi are baza \( b = 10\,\text{cm} \) și înălțimea \( h = 6\,\text{cm} \).
\[ A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{10 \cdot 6}{2} = \frac{60}{2} = 30\,\text{cm}^2. \]
Răspuns: aria triunghiului este \( 30\,\text{cm}^2 \).
Aria trapezului
Un trapez este un patrulater care are două laturi opuse paralele (numite baze).
Formula ariei trapezului
Fie un trapez cu bazele \( B \) și \( b \) (cu \( B \) baza mare, \( b \) baza mică) și înălțimea \( h \). Atunci:
\[ A_{trapez} = \frac{(B + b) \cdot h}{2}. \]Trapez cu bazele \( B \), \( b \) și înălțimea \( h \)
Exemplu 4: Un trapez are bazele \( B = 12\,\text{cm} \), \( b = 8\,\text{cm} \) și înălțimea \( h = 5\,\text{cm} \).
\[ A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \frac{(12 + 8) \cdot 5}{2} = \frac{20 \cdot 5}{2} = \frac{100}{2} = 50\,\text{cm}^2. \]
Răspuns: aria trapezului este \( 50\,\text{cm}^2 \).
Aria poligonului regulat. Lungimea cercului și aria discului
Aria poligonului regulat
Un poligon regulat are toate laturile egale și toate unghiurile egale.
Fie un poligon regulat cu:
- \( n \) – numărul de laturi;
- \( a \) – lungimea unei laturi;
- \( P \) – perimetrul poligonului (\( P = n \cdot a \));
- \( ap \) – apotema poligonului (distanța de la centru la o latură).
Atunci aria poligonului regulat este:
\[ A_{poligon\ regulat} = \frac{P \cdot ap}{2} = \frac{n \cdot a \cdot ap}{2}. \]Poligon regulat (hexagon) cu apotemă \( ap \)
Exemplu 5: Un hexagon regulat are latura \( a = 4\,\text{cm} \) și apotema \( ap = 3{,}5\,\text{cm} \). Găsiți aria.
Pentru hexagon regulat, \( n = 6 \). Perimetrul: \[ P = n \cdot a = 6 \cdot 4 = 24\,\text{cm}. \] Aria: \[ A = \frac{P \cdot ap}{2} = \frac{24 \cdot 3{,}5}{2} = \frac{84}{2} = 42\,\text{cm}^2. \]
Răspuns: aria hexagonului regulat este \( 42\,\text{cm}^2 \).
Lungimea cercului (circumferința) și aria discului
Fie un cerc cu raza \( r \) și diametrul \( d = 2r \).
Lungimea cercului
Lungimea cercului (circumferința) este:
\[ L = 2 \pi r = \pi d. \]Aria discului
Aria discului (suprafața din interiorul cercului) este:
\[ A_{disc} = \pi r^2. \]Cerc cu raza \( r \)
Exemplu 6: Un cerc are raza \( r = 7\,\text{cm} \). Calculați lungimea cercului și aria discului (luați \( \pi \approx 3{,}14 \)).
Lungimea cercului: \[ L = 2 \pi r \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 7 = 43{,}96\,\text{cm}. \]
Aria discului: \[ A = \pi r^2 \approx 3{,}14 \cdot 7^2 = 3{,}14 \cdot 49 \approx 153{,}86\,\text{cm}^2. \]
Răspuns: \( L \approx 43{,}96\,\text{cm} \), \( S \approx 153{,}86\,\text{cm}^2 \).