Mulțimea numerelor reale
Mulțimea numerelor reale
Numerele reale modelează distanțe măsurabile pe axa numerelor. Pe această axă, fiecare punct corespunde unui singur număr real, iar fiecare număr real poate fi reprezentat printr-un punct.
Notații pentru mulțimi de numere
- \( \mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,\dots\} \) – mulțimea numerelor naturale (inclusiv 0).
- \( \mathbb{N}^* = \{1,2,3,4,\dots\} \) – mulțimea numerelor naturale nenule.
- \( \mathbb{Z} = \{\dots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots\} \) – mulțimea numerelor întregi.
- \( \mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{m}{n} \;\middle|\; m \in \mathbb{Z},\; n \in \mathbb{N}^*,\; n \ne 0 \right\} \) – mulțimea numerelor raționale (fracții).
- \( \mathbb{I} = \{ x \mid x \in \mathbb{R},\ x \notin \mathbb{Q} \} \) – mulțimea numerelor iraționale (zecimale neperiodice).
- \( \mathbb{R} = \{ x \mid x \text{ este număr rațional sau irațional} \} \) – mulțimea numerelor reale.
Submulțimi importante ale lui \( \mathbb{R} \)
- \( \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) – mulțimea numerelor reale nenule.
- \( \mathbb{R}_+^* = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} \) – mulțimea numerelor reale strict pozitive.
- \( \mathbb{R}_-^* = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \} \) – mulțimea numerelor reale strict negative.
Relații între mulțimile de numere
- \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \).
- \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \) și \( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing \).
Modulul (valoarea absolută) a unui număr real
Definiția modulului
Pentru orice \( a \in \mathbb{R} \), modulul lui \( a \) este:
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{dacă } a \ge 0, \\ -a, & \text{dacă } a < 0. \end{cases} \]Proprietăți ale modulului unui număr real
- 1° \( |a| \ge 0 \) și \( |a| = 0 \iff a = 0 \).
- 2° \( |a| \ge a \), oricare ar fi \( a \in \mathbb{R} \).
- 3° \( |a\cdot b| = |a|\cdot|b| \), pentru orice \( a,b \in \mathbb{R} \).
- 4° \( \left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|} \), pentru \( a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{R}^* \).
- 5° \( |a|^2 = a^2 = (-a)^2 \), deci \( |a| = \sqrt{a^2} \).
Exemple cu modulul unui număr real
- \( |5| = 5 \), deoarece \( 5 \ge 0 \).
- \( |-7| = -(-7) = 7 \).
- \( \left| -\dfrac{3}{4} \right| = \dfrac{3}{4} \).
- \( |2\cdot(-3)| = |-6| = 6 \), iar \( |2|\cdot|-3| = 2\cdot 3 = 6 \).
- \( \left|\dfrac{-10}{5}\right| = \left| -2 \right| = 2 \), iar \( \dfrac{|-10|}{|5|} = \dfrac{10}{5} = 2 \).
Exemplu rezolvat: Rezolvați ecuația \( |x-3| = 5 \).
Avem două cazuri:
-
Cazul 1: \( x - 3 \ge 0 \Rightarrow |x-3| = x-3 \).
\( x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8 \). -
Cazul 2: \( x - 3 < 0 \Rightarrow |x-3| = -(x-3) = -x + 3 \).
\( -x + 3 = 5 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2 \).
Răspuns: \( x \in \{-2,\ 8\} \).
Numere raționale și iraționale. Mulțimea \( \mathbb{R} \)
Un număr real poate fi scris în formă zecimală. În funcție de dezvoltarea zecimală, avem:
-
Numere raționale: zecimale finite sau periodice (simplu sau mixt).
Exemplu: \( 0,25 = \dfrac{1}{4} \), \( 0,(36) = \dfrac{4}{11} \). -
Numere iraționale: zecimale neperiodice, cu un număr infinit de zecimale.
Exemplu: \( \sqrt{2},\ \pi \) (nu au reprezentare fracționară).
Reamintire
- \( \mathbb{Q} = \{ x \mid x \text{ număr rațional} \} \).
- \( \mathbb{I} = \{ x \mid x \text{ număr zecimal neperiodic cu un număr infinit de zecimale} \} \).
- \( \mathbb{R} = \{ x \mid x \text{ număr rațional sau irațional} \} \).
- Relațiile: \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \) și \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \).
Transformarea unui număr real periodic în fracție
Orice număr zecimal periodic este un număr rațional și se poate scrie sub forma unei fracții.
Regulă rapidă (pentru periodic simplu)
-
Dacă numărul este de forma \( 0,(\text{perioada}) \), atunci:
- Numărător = cifra/cifrele care se repetă (perioada).
- Numitor = atâtea cifre de \( 9 \) câte cifre are perioada.
- Exemple: \( 0,(7)=\dfrac{7}{9} \), \( 0,(36)=\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11} \), \( 0,(105)=\dfrac{105}{999} \).
Exemple
Exemplul 1: Scrieți sub formă de fracție numărul \( 0,(36) \).
Perioada este „36” (două cifre).
Numărător: \(36\).
Numitor: \(99\) (două cifre de 9).
Exemplul 2: Scrieți sub formă de fracție numărul \( 0,(3) \).
\[ 0,(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}. \]Exemplul 3 (clasificare):
- \( 5 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \).
- \( -3,2 = -\dfrac{32}{10} = -\dfrac{16}{5} \in \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \).
- \( \sqrt{2} \in \mathbb{I} \subset \mathbb{R} \).