Rapoarte algebrice
Rapoarte algebrice
Noțiunea de raport algebric
Un raport algebric este de forma:
\[ \dfrac{A(x)}{B(x)}, \] unde:- \( A(x) \) și \( B(x) \) sunt expresii algebrice (de obicei polinoame);
- \( B(x) \ne 0 \).
Domeniul de valabilitate al unui raport algebric (D.V.A.)
Domeniul de valabilitate al unui raport algebric este mulțimea valorilor pentru care expresia are sens, adică acele valori pentru care numitorul este diferit de zero.
- Dacă avem raportul \( \dfrac{A(x)}{B(x)} \), atunci D.V.A. se obține din condiția: \[ B(x) \ne 0. \]
Exemplu 1 (D.V.A.): Găsiți D.V.A. pentru raportul \( E(x) = \dfrac{2x+1}{x-3} \).
Condiția de existență este ca numitorul să fie nenul:
\( x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \).
D.V.A.: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).
Exemplu 2 (D.V.A.): Găsiți D.V.A. pentru \( F(x) = \dfrac{x^2-4}{x^2-1} \).
Condiția: \( x^2 - 1 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 1 \Rightarrow x \ne \pm 1 \).
D.V.A.: \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
Amplificarea și simplificarea rapoartelor algebrice
Amplificarea Simplificarea
Regulă generală
Pentru \( A(x), B(x), C(x) \) expresii algebrice și \( C(x) \ne 0 \):
- Amplificare: \[ \dfrac{A(x)}{B(x)} = \dfrac{A(x)\cdot C(x)}{B(x)\cdot C(x)}. \]
- Simplificare: dacă \( C(x) \) este factor comun, \[ \dfrac{A(x)\cdot C(x)}{B(x)\cdot C(x)} = \dfrac{A(x)}{B(x)}, \] cu condiția \( C(x) \ne 0 \) și ținând cont de D.V.A.
Exemplu 3 (amplificare): Amplificați raportul \( \dfrac{2}{x} \) cu \( 3x \).
Amplificare cu \( 3x \ne 0 \):
\[
\dfrac{2}{x} = \dfrac{2 \cdot 3x}{x \cdot 3x} = \dfrac{6x}{3x^2}.
\]
Răspuns: \( \dfrac{6x}{3x^2} \).
Exemplu 4 (simplificare): Simplificați \( \dfrac{4x^2}{6x} \).
Observăm că \( 4x^2 = 2x \cdot 2x \) și \( 6x = 2x \cdot 3 \). Putem simplifica factorul comun \( 2x \) (cu condiția \( x \ne 0 \)):
\[ \dfrac{4x^2}{6x} = \dfrac{2x \cdot 2x}{2x \cdot 3} = \dfrac{2x}{3}. \]
Răspuns: \( \dfrac{2x}{3} \), cu \( x \ne 0 \).
Exemplu 5 (simplificare cu factorizare): Simplificați \( \dfrac{x^2-9}{x^2-3x} \).
Factorizăm numărătorul și numitorul:
\( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \);
\( x^2 - 3x = x(x-3) \).
\[ \dfrac{x^2-9}{x^2-3x} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}. \] Simplificăm factorul comun \( x-3 \) (cu condiția \( x \ne 3 \) și \( x \ne 0 \)): \[ \dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} = \dfrac{x+3}{x}. \]
Răspuns: \( \dfrac{x+3}{x} \), cu \( x \ne 0, x \ne 3 \).
Operații cu rapoarte algebrice
1. Înmulțirea a două rapoarte algebrice
Pentru \( \dfrac{A(x)}{B(x)} \) și \( \dfrac{C(x)}{D(x)} \), cu \( B(x) \ne 0 \), \( D(x) \ne 0 \):
\[ \dfrac{A(x)}{B(x)} \cdot \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x)\cdot C(x)}{B(x)\cdot D(x)}. \]Exemplu 6: Calculați \( \dfrac{2x}{3} \cdot \dfrac{9}{4x} \).
\[ \dfrac{2x}{3} \cdot \dfrac{9}{4x} = \dfrac{2x \cdot 9}{3 \cdot 4x} = \dfrac{18x}{12x}. \] Simplificăm \( 18x : 12x = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} \) (pentru \( x \ne 0 \)).
Răspuns: \( \dfrac{3}{2} \), cu \( x \ne 0 \).
2. Împărțirea a două rapoarte algebrice
Pentru \( \dfrac{A(x)}{B(x)} \) și \( \dfrac{C(x)}{D(x)} \), cu \( B(x) \ne 0 \), \( C(x) \ne 0 \), \( D(x) \ne 0 \):
\[ \dfrac{\frac{A(x)}{B(x)}}{\frac{C(x)}{D(x)}} = \dfrac{A(x)}{B(x)} \cdot \dfrac{D(x)}{C(x)}. \]Exemplu 7: Calculați \( \dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{3x}{5}} \).
Transformăm împărțirea în înmulțire: \[ \dfrac{\frac{x}{2}}{\frac{3x}{5}} = \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{5}{3x} = \dfrac{5x}{6x}. \] Simplificăm \( x \ne 0 \): \( \dfrac{5x}{6x} = \dfrac{5}{6} \).
Răspuns: \( \dfrac{5}{6} \), cu \( x \ne 0 \).
3. Adunarea și scăderea rapoartelor algebrice
Pentru a aduna sau scădea două rapoarte algebrice, le aducem la același numitor.
Pentru \( \dfrac{A(x)}{B(x)} \) și \( \dfrac{C(x)}{D(x)} \):
\[ \dfrac{A(x)}{B(x)} + \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x)\cdot D(x) + C(x)\cdot B(x)}{B(x)\cdot D(x)}. \]Exemplu 8: Calculați \( \dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{5} \).
Aducem la același numitor \( 15 \):
\( \dfrac{x}{3} = \dfrac{5x}{15} \),
\( \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15} \).
\[ \dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5x}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{5x+6}{15}. \]
Răspuns: \( \dfrac{5x+6}{15} \).
Exemplu 9: Calculați \( \dfrac{x}{x-1} - \dfrac{1}{x-1} \).
Observăm că numitorii sunt deja egali: \[ \dfrac{x}{x-1} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x-1}{x-1} = 1, \] cu condiția \( x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \).
Răspuns: \( 1 \), cu \( x \ne 1 \).
Puterea cu exponent natural a unui raport algebric
Puterea de exponent natural a unui raport algebric se obține ridicând la putere atât numărătorul, cât și numitorul.
Regulă
Pentru \( n \in \mathbb{N}^* \) și \( B(x) \ne 0 \):
\[ \left(\dfrac{A(x)}{B(x)}\right)^n = \dfrac{A(x)^n}{B(x)^n}. \]Exemplu 10: Calculați \( \left(\dfrac{2x}{3}\right)^3 \).
\[ \left(\dfrac{2x}{3}\right)^3 = \dfrac{(2x)^3}{3^3} = \dfrac{8x^3}{27}. \]
Răspuns: \( \dfrac{8x^3}{27} \).
Exemplu 11: Calculați \( \left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)^2 \) și indicați D.V.A.
\[ \left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)^2 = \dfrac{(x-1)^2}{(x+2)^2}. \] Condiția de existență: \( x+2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2 \).
Răspuns: \( \dfrac{(x-1)^2}{(x+2)^2} \), cu \( x \ne -2 \).