Cercul și elementele lui

Cercul și elementele lui

Cercul este mulțimea tuturor punctelor unui plan care sunt la aceeași distanță de un punct fix numit centru.

Definiție

Fie \( O \) un punct fix și \( r \) un număr real pozitiv.

Cercul de centru \( O \) și rază \( r \) este mulțimea:

\[ C(O, r) = \{ M \in \text{plan} \mid OM = r \}. \]

Elementele cercului

  • Centrul: punctul \( O \) față de care se măsoară distanța.
  • Raza: segmentul care unește centrul cercului cu un punct de pe cerc, de ex. \( [OA] \), cu \( OA = r \).
  • Diametrul: segmentul care unește două puncte de pe cerc și trece prin centru (de ex. \( [AB] \)), cu \[ AB = 2r. \]
  • Coarda: segmentul care unește două puncte de pe cerc (nu este neapărat diametru).
  • Arcul de cerc: porțiunea de cerc cuprinsă între două puncte ale cercului.
  • Discul: mulțimea tuturor punctelor aflate la distanță mai mică sau egală cu \( r \) de centru (interiorul + cercul).

Schiță: cerc cu centru, rază, diametru și coardă

Exemplu 1:

Cercul \( C(O, 5\,\text{cm}) \) are raza \( r = 5\,\text{cm} \), iar orice diametru al lui are lungimea \[ d = 2r = 10\,\text{cm}. \]

Poziția unei drepte față de cerc

Fie un cerc de centru \( O \) și rază \( r \), iar \( d \) o dreaptă în plan. Poziția dreptei față de cerc depinde de distanța de la centru la dreaptă: \( d(O, d) \).

Tipuri de poziții

  • Dreaptă secantă – intersectează cercul în două puncte.
    Condiție: \[ d(O, d) \lt r. \]
  • Dreaptă tangentă – are un singur punct comun cu cercul.
    Condiție: \[ d(O, d) = r. \] Punctul de intersecție se numește punct de tangență.
  • Dreaptă exterioară – nu are niciun punct comun cu cercul.
    Condiție: \[ d(O, d) \gt r. \]

Schiță: dreaptă secantă, tangentă și exterioară la același cerc

Exemplu 2:

Un cerc are \( r = 4\,\text{cm} \). Distanța de la centrul cercului la dreapta \( d \) este \( 4\,\text{cm} \).
Deoarece \( d(O, d) = r \), dreapta \( d \) este tangentă la cerc.

Unghiuri la centru

Un unghi la centru este un unghi care are vârful în centrul cercului, iar laturile lui trec prin două puncte de pe cerc.

Dacă \( O \) este centrul cercului, iar \( A, B \) sunt două puncte de pe cerc, atunci \[ \angle AOB \] este un unghi la centru, care „subîntinde” arcul de cerc \( \widehat{AB} \).

  • Mărimea unghiului la centru este proporțională cu măsura arcului \( \widehat{AB} \) pe care îl subîntinde.
  • Dacă cercul este împărțit în 360° atunci suma tuturor unghiurilor la centru care subîntind cercul complet este 360°.

Schiță: unghi la centru într-un cerc

Exemplu 3:

Într-un cerc, un unghi la centru măsoară \( 60^\circ \). El subîntinde un arc de cerc egal cu a șasea parte din cerc, deoarece: \[ \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}. \]

Unghiuri înscrise în cerc

Un unghi înscris în cerc este un unghi care are vârful pe cerc, iar laturile lui trec prin două puncte de pe cerc.

Dacă \( A, B, C \) sunt trei puncte de pe cerc, atunci unghiul \[ \angle ACB \] este un unghi înscris în cerc, care subîntinde același arc \( \widehat{AB} \) ca și unghiul la centru \( \angle AOB \) (unde \( O \) este centrul cercului).

Relația dintre unghiul la centru și unghiul înscris

Importantă este următoarea proprietate:

Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura unghiului la centru care subîntinde același arc.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB. \]
  • Unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt egale.
  • Un unghi înscris care subîntinde un semicerc (diametru) este un unghi drept (de \( 90^\circ \)).

Schiță: unghi înscris într-un cerc (vârful pe cerc)

Exemplu 4:

Într-un cerc, un unghi la centru \( \angle AOB \) măsoară \( 80^\circ \). Determinați măsura oricărui unghi înscris care subîntinde același arc \( \widehat{AB} \).

Folosim relația: \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ. \]

Răspuns: orice unghi înscris ce subîntinde arcul \( \widehat{AB} \) are măsura \( 40^\circ \).

Exemplu 5:

Fie un cerc în care \( [AB] \) este diametru. Considerăm un punct \( C \) pe cerc, diferit de \( A \) și \( B \). Demonstrați că unghiul înscris \( \angle ACB \) este drept.

Arcul \( \widehat{AB} \) este un semicerc, iar unghiul la centru \( \angle AOB \) care îl subîntinde este de \[ \angle AOB = 180^\circ. \] Conform relației: \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ. \]

Concluzie: orice unghi înscris într-un semicerc este un unghi drept.

Înapoi Următor