Corpurile rotunde

Corpurile rotunde

Corpurile rotunde sunt corpuri geometrice obținute prin rotirea unei figuri plane în jurul unei drepte: cilindrul, conul, trunchiul de con și sfera sunt exemple importante.

Cilindrul (circular drept)

Un cilindru circular drept se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. Baza este un cerc, iar muchia laterală este perpendiculară pe planul bazei.

Elementele cilindrului

  • \( r \) – raza bazei (cercul de bază);
  • \( h \) – înălțimea cilindrului (distanța dintre cele două baze);
  • \( A_b \) – aria bazei;
  • \( A_l \) – aria laterală;
  • \( A_t \) – aria totală;
  • \( V \) – volumul.

Cilindru circular drept, cu baza de rază \( r \) și înălțime \( h \)

Formule pentru cilindru (aria notată cu \( A \))

  • Aria bazei: \[ A_b = \pi r^2. \]
  • Aria laterală: \[ A_l = 2 \pi r h. \] (dezvoltarea laterală este un dreptunghi cu laturile \( 2\pi r \) și \( h \)).
  • Aria totală: \[ A_t = 2A_b + A_l = 2\pi r^2 + 2\pi r h. \]
  • Volumul: \[ V = A_b \cdot h = \pi r^2 h. \]

Exemplu 1 (cilindru):

Un cilindru are raza bazei \( r = 3\,\text{cm} \) și înălțimea \( h = 10\,\text{cm} \). Calculați volumul.

\[ V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi\,\text{cm}^3. \]

Răspuns: \( V = 90\pi\,\text{cm}^3 \) (aprox. \( 282{,}6\,\text{cm}^3 \) dacă \( \pi \approx 3{,}14 \)).

Conul (circular drept)

Un con circular drept se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Baza este un cerc, iar vârful este punctul fix în jurul căruia se rotește triunghiul.

Elementele conului

  • \( r \) – raza bazei;
  • \( h \) – înălțimea conului (distanța de la vârf la planul bazei);
  • \( l \) – generatoarea conului (segmentul de la vârf la un punct de pe cercul bazei);
  • \( A_b \) – aria bazei;
  • \( A_l \) – aria laterală;
  • \( A_t \) – aria totală;
  • \( V \) – volumul.

Con circular drept, cu raza \( r \), înălțime \( h \) și generatoare \( l \)

Formule pentru con (aria notată cu \( A \))

  • Aria bazei: \[ A_b = \pi r^2. \]
  • Aria laterală: \[ A_l = \pi r l, \] unde \( l \) este generatoarea conului.
  • Aria totală: \[ A_t = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l. \]
  • Volumul: \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} = \frac{\pi r^2 h}{3}. \]

Exemplu 2 (con):

Un con are raza bazei \( r = 4\,\text{cm} \) și înălțimea \( h = 9\,\text{cm} \). Calculați volumul.

\[ V = \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 9}{3} = \frac{\pi \cdot 16 \cdot 9}{3} = \frac{144\pi}{3} = 48\pi\,\text{cm}^3. \]

Răspuns: \( V = 48\pi\,\text{cm}^3 \).

Trunchiul de con (circular drept)

Un trunchi de con se obține prin secționarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza, păstrând partea dintre baza inițială și secțiune.

Elementele trunchiului de con

  • \( R \) – raza bazei mari;
  • \( r \) – raza bazei mici;
  • \( h \) – înălțimea trunchiului (distanța dintre planele celor două baze);
  • \( l \) – generatoarea trunchiului de con;
  • \( A_1 \) – aria bazei mari (\( A_1 = \pi R^2 \));
  • \( A_2 \) – aria bazei mici (\( A_2 = \pi r^2 \));
  • \( A_l \) – aria laterală;
  • \( A_t \) – aria totală;
  • \( V \) – volumul.

Trunchi de con circular drept

Formule pentru trunchiul de con (aria notată cu \( A \))

  • Aria bazei mari: \[ A_1 = \pi R^2. \]
  • Aria bazei mici: \[ A_2 = \pi r^2. \]
  • Aria laterală: \[ A_l = \pi (R + r) \, l. \]
  • Aria totală: \[ A_t = A_1 + A_2 + A_l = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R + r) l. \]
  • Volumul: \[ V = \frac{\pi h}{3} \left(R^2 + Rr + r^2\right). \]

Exemplu 3 (trunchi de con):

Un trunchi de con are \( R = 5\,\text{cm} \), \( r = 3\,\text{cm} \) și \( h = 8\,\text{cm} \). Calculați volumul.

\[ V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + Rr + r^2) = \frac{\pi \cdot 8}{3} (5^2 + 5 \cdot 3 + 3^2) = \frac{8\pi}{3} (25 + 15 + 9). \] \[ 25 + 15 + 9 = 49 \Rightarrow V = \frac{8\pi}{3} \cdot 49 = \frac{392\pi}{3}\,\text{cm}^3. \]

Răspuns: \( V = \dfrac{392\pi}{3}\,\text{cm}^3 \).

Sfera

O sferă este mulțimea tuturor punctelor din spațiu situate la aceeași distanță de un punct fix numit centru. Distanța de la centru la orice punct al sferei se numește rază.

Elementele sferei

  • \( O \) – centrul sferei;
  • \( r \) – raza sferei;
  • \( A \) – aria (suprafața) sferei;
  • \( V \) – volumul sferei.

Sferă cu centru \( O \) și rază \( r \)

Formule pentru sferă (aria notată cu \( A \))

  • Aria (suprafața) sferei: \[ A = 4 \pi r^2. \]
  • Volumul sferei: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3. \]

Exemplu 4 (sferă):

O sferă are raza \( r = 6\,\text{cm} \). Calculați aria sferei și volumul ei.

Aria: \[ A = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144\pi\,\text{cm}^2. \]

Volumul: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288\pi\,\text{cm}^3. \]

Răspuns: \( A = 144\pi\,\text{cm}^2 \), \( V = 288\pi\,\text{cm}^3 \).

Înapoi Următor