Puteri și radicali

Puteri și radicali

Puterile și radicalii sunt operații importante cu numere reale, folosite pentru a scrie mai simplu înmulțiri repetate și pentru a „inversa” operația de ridicare la putere.

Definiția puterii cu exponent natural

Pentru \( a \in \mathbb{R} \) și \( n \in \mathbb{N}^* \), puterea lui \( a \) de exponent \( n \) este:

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ factori}}. \]
  • \( a \) – baza;
  • \( n \) – exponentul.

Prin convenție:

  • \( a^1 = a \);
  • \( a^0 = 1 \), pentru orice \( a \ne 0 \).

Definiția puterilor cu exponenți întregi

  • Pentru \( n \in \mathbb{N} \), \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \), dacă \( a \ne 0 \).
    Exemplu: \( 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \).

Proprietăți importante ale puterilor

  • \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), pentru orice \( a \ne 0 \), \( m,n \in \mathbb{Z} \).
  • \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), pentru orice \( a \ne 0 \), \( m,n \in \mathbb{Z} \).
  • \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
  • \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \).
  • \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \), dacă \( b \ne 0 \).

Exemplu 1 (puteri): Simplificați expresia \( 2^3 \cdot 2^4 \).

Aplicăm regula \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
\( 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \).

Răspuns: \( 128 \).

Exemplu 2: Simplificați \( \dfrac{5^7}{5^4} \).

\( \dfrac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125 \).

Răspuns: \( 125 \).

Exemplu 3 (exponent negativ): Scrieți fără exponent negativ: \( 3^{-2} \).

\( 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \).

Răspuns: \( \dfrac{1}{9} \).

Radicali

Radicalul este operația inversă ridicării la putere. Radicalul de ordin \( n \) dintr-un număr real pozitiv \( a \) este acel număr real \( x \) pentru care \( x^n = a \).

Definiția radicalului

  • Pentru \( a \ge 0 \) și \( n \in \mathbb{N}^* \), \( n \ge 2 \), radicalul de ordin \( n \) din \( a \) este: \[ \sqrt[n]{a} = x \quad \text{dacă și numai dacă} \quad x^n = a \text{ și } x \ge 0. \]
  • \( \sqrt{a} = \sqrt[2]{a} \) – rădăcina pătrată a lui \( a \).

Legătura între puteri și radicali

  • \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \), pentru \( a \ge 0 \), \( n \in \mathbb{N}^* \).
  • \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \), pentru \( a \ge 0 \).

Exemplu 4: Calculați \( \sqrt[3]{8} \).

Căutăm numărul \( x \) astfel încât \( x^3 = 8 \). Știm că \( 2^3 = 8 \), deci:
\( \sqrt[3]{8} = 2 \).

Răspuns: \( 2 \).

Exemplu 5: Scrieți \( \sqrt[4]{16} \) ca putere cu exponent fracționar.

\( \sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} \). Știm că \( 16 = 2^4 \), deci:
\( 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 = 2 \).

Răspuns: \( 2 \).

Proprietăți ale radicalilor (pentru \( a,b \ge 0 \))

  • \( \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \).
  • \( \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \), dacă \( b \ne 0 \).
  • \( \sqrt[n]{a^n} = a \), pentru \( a \ge 0 \).
  • \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

Exemplu 6: Simplificați \( \sqrt{49} \).

Știm că \( 49 = 7^2 \), deci:
\( \sqrt{49} = \sqrt{7^2} = 7 \).

Răspuns: \( 7 \).

Exemplu 7: Simplificați \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} \).

Folosim proprietatea \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \):
\( \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10 \).

Răspuns: \( 10 \).

Exemplu 8: Simplificați \( \sqrt{\dfrac{9}{16}} \).

\( \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \dfrac{3}{4} \).

Răspuns: \( \dfrac{3}{4} \).

Scrierea expresiilor cu puteri și radicali

  • \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \).
  • \( \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} \).
  • \( \dfrac{1}{\sqrt{a}} = a^{-\frac{1}{2}} \), pentru \( a > 0 \).

Exemplu 9 (exercițiu mixt): Simplificați expresia \( E = \sqrt{25} + \sqrt[3]{8} \cdot 2^{-1} \).

Calculăm fiecare termen:

\( \sqrt{25} = 5 \).
\( \sqrt[3]{8} = 2 \).
\( 2^{-1} = \dfrac{1}{2} \).

Deci: \( E = 5 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 5 + 1 = 6 \).

Răspuns: \( E = 6 \).

Exemplu 10: Scrieți sub forma unei singure puteri: \( \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} \).

Transformăm radicalii în puteri: \( \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} \), \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \).
Atunci: \( a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{3}} = a^1 = a \).

Răspuns: \( a \).

Înapoi Următor