Elemente de teoria probabilităților și de statistică matematică

Noțiunea de experiment și eveniment

În teoria probabilităților, experiment aleator se numește orice acțiune care, în aceleași condiții, poate avea mai multe rezultate posibile și nu putem ști dinainte sigur care va apărea. Exemple: aruncarea unui zar, extragerea unei cărți dintr-un pachet.

Noțiunea de eveniment

Un eveniment este un rezultat (sau o mulțime de rezultate) asociat unui experiment aleator.

Evenimentele se notează, de regulă, cu litere majuscule: \( A, B, C, \dots \).
Orice eveniment este legat întotdeauna de un experiment concret.

Tipuri de evenimente

Eveniment imposibil – evenimentul care nu se realizează niciodată în urma experimentului.
Exemplu: la aruncarea unui zar obișnuit, evenimentul „obținem 7 puncte” este imposibil.
Notație: evenimentul imposibil se notează cu \( \varnothing \) (mulțimea vidă).
Eveniment sigur – evenimentul care se realizează în urma oricărei probe a experimentului.
Exemplu: la aruncarea unui zar, evenimentul „obținem un număr de la 1 la 6” este sigur.
Notație: se notează, de regulă, cu \( E \) sau \( \Omega \) (mulțimea tuturor rezultatelor).
Eveniment aleator – evenimentul care se poate realiza sau nu, în funcție de rezultat.
Exemplu: la aruncarea unui zar, evenimentul „obținem un număr par”.

Evenimentele pot fi clasificate în: sigure, imposibile și aleatoare.

Exemplu 1 (evenimente):

Experiment: aruncarea unui zar cu 6 fețe.

Eveniment imposibil: \( A \): „obținem 8 puncte”. \( A = \varnothing \).
Eveniment sigur: \( B \): „obținem un număr de la 1 la 6”.
Eveniment aleator: \( C \): „obținem un număr par” \((2,4,6)\).

Noțiunea de probabilitate

Dacă toate rezultatele elementare sunt echiprobabile (au aceeași șansă să apară), probabilitatea unui eveniment \( A \) se definește prin:

\[ P(A) = \frac{\text{număr de cazuri favorabile lui } A}{\text{număr de cazuri posibile}} = \frac{m}{n}, \]

unde \( m \) este numărul de cazuri favorabile evenimentului \( A \), iar \( n \) este numărul total de cazuri posibile.

Proprietățile probabilității

Din definiția probabilității \( P(A) = \dfrac{m}{n} \) rezultă următoarele proprietăți:

1° Probabilitatea evenimentului sigur \( E \) este 1.
\[ P(E) = 1. \] Într-adevăr, pentru evenimentul sigur, numărul cazurilor favorabile este egal cu numărul cazurilor posibile, adică \( m = n \). Atunci: \[ P(E) = \frac{m}{n} = \frac{n}{n} = 1. \]
2° Probabilitatea evenimentului imposibil este 0.
\[ P(\varnothing) = 0. \] Într-adevăr, pentru evenimentul imposibil nu există niciun caz favorabil, deci \( m = 0 \). Atunci: \[ P(\varnothing) = \frac{m}{n} = \frac{0}{n} = 0. \]
3° Probabilitatea unui eveniment aleator este un număr cuprins între 0 și 1.
Într-adevăr, numărul \( m \) al cazurilor favorabile evenimentului aleator \( A \) satisface dubla inegalitate: \[ 0 \lt m \lt n, \] de unde rezultă \[ 0 \lt \frac{m}{n} \lt 1. \] Cum \( P(A) = \dfrac{m}{n} \), obținem: \[ 0 \lt P(A) \lt 1 \] pentru orice eveniment aleator \( A \). În general, pentru orice eveniment \( A \), se are: \[ 0 \le P(A) \le 1. \]

Exemplu 2 (probabilitate simplă):

Experiment: aruncăm un zar. Care este probabilitatea evenimentului \( A \): „obținem un număr par”?

Cazuri posibile: \( \{1,2,3,4,5,6\} \) – în total 6 rezultate.
Cazuri favorabile pentru \( A \): \( \{2,4,6\} \) – în total 3 rezultate.

\[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]

Răspuns: Probabilitatea este \( \frac{1}{2} \).

Elemente de statistică matematică

Statistica matematică studiază metode de colectare, organizare, prelucrare și interpretare a datelor.

Noțiuni de bază

Populație statistică – mulțimea tuturor elementelor observate (elevi, măsurători etc.).
Eșantion – un grup mai mic, reprezentativ, ales din populație.
Caracteristică statistică – mărimea măsurată (înălțime, vârstă, note, salariu etc.).

Măsuri de tendință centrală

Media aritmetică: \[ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}. \]

Exemplu 3 (statistică simplă):

Notele unui elev la 5 teste sunt: 7, 8, 9, 8, 6.

Media: \[ \overline{x} = \frac{7 + 8 + 9 + 8 + 6}{5} = \frac{38}{5} = 7{,}6. \]

Răspuns: media = 7,6.

Elemente de calcul financiar (procente)

În calculele financiare, procentul este o modalitate de a exprima o parte dintr-un întreg: \( 1\% = \frac{1}{100} \) din întreg.

Transformări procent – fracție – număr zecimal

\( 25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \);
\( 5\% = \frac{5}{100} = 0{,}05 \);
\( 12{,}5\% = \frac{12{,}5}{100} = 0{,}125 \).

Calcularea procentului dintr-o valoare

Pentru a calcula \( p\% \) dintr-o valoare \( A \), folosim:

\[ p\% \text{ din } A = \frac{p}{100} \cdot A. \]

Exemplu 4: Calculați 15% din 200 lei.

\[ 15\% \text{ din } 200 = \frac{15}{100} \cdot 200 = 0{,}15 \cdot 200 = 30. \]

Răspuns: 30 lei.

Dobânda simplă (idee de bază)

În calculele financiare apare adesea noțiunea de dobândă – suma primită (sau plătită) în plus față de suma inițială, pentru folosirea banilor o perioadă de timp.

Dacă suma inițială este \( S_0 \), rata dobânzii este \( r\% \) pe an, iar timpul este \( t \) ani, dobânda simplă este:

\[ D = S_0 \cdot \frac{r}{100} \cdot t, \]

iar suma finală:

\[ S = S_0 + D. \]

Exemplu 5: Depunem 1000 lei la o bancă, cu dobândă simplă de 5% pe an, timp de 2 ani. Care este suma finală?

\[ D = 1000 \cdot \frac{5}{100} \cdot 2 = 1000 \cdot 0{,}05 \cdot 2 = 100. \] \[ S = 1000 + 100 = 1100 \text{ lei}. \]

Răspuns: Suma finală este 1100 lei.

Exemplu 6 (probabilitate + statistica + procente):

Într-o clasă sunt 30 de elevi. 18 dintre ei practică un sport. a) Care este frecvența relativă a elevilor care practică un sport? b) Care este, aproximativ, probabilitatea ca un elev ales la întâmplare să practice un sport? c) Ce procent din clasă practică un sport?

Rezolvare:

a) Frecvența relativă: \[ f_{\text{rel}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0{,}6. \]
b) Probabilitatea aproximativă: \[ P \approx 0{,}6 = \frac{3}{5}. \]
c) Procentul: \[ 0{,}6 \cdot 100\% = 60\%. \]

Răspuns: frecvența relativă = 0,6; probabilitatea ≈ 0,6; 60% din elevi practică un sport.

Cuprins

Explicație