Inecuții și sisteme de inecuații

Inecuții și sisteme de inecuații

O inecuație este o relație de forma \( E(x) \, \square \, F(x) \), unde \( \square \) poate fi \( \lt, \le, \gt, \ge \), iar \( E(x) \), \( F(x) \) sunt expresii algebrice. Scopul este de a determina mulțimea tuturor numerelor reale pentru care inecuația este adevărată.

Tipuri de inecuații

  • Inecuții de gradul I: \( ax + b \gt 0 \), \( ax + b \le 3 \), etc.
  • Inecuții de gradul II: \( ax^2 + bx + c \ge 0 \), etc.
  • Inecuții raționale: \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \gt 0 \), \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \le 0 \).
  • Sisteme de inecuații: mai multe inecuații care trebuie îndeplinite simultan.

Inecuții de gradul I cu o necunoscută

O inecuație de gradul I este de forma:

\( ax + b \, \square \, c \), unde \( a,b,c \in \mathbb{R} \), \( a \ne 0 \), iar \( \square \in \{ \lt, \le, \gt, \ge \} \).

Prin transformări algebrice, aducem inecuația la forma:

\( ax \, \square \, d \Rightarrow x \, \square' \, \dfrac{d}{a} \),

unde:

  • dacă \( a \gt 0 \), sensul inecuației nu se schimbă;
  • dacă \( a \lt 0 \), sensul inecuației se inversează.

Exemplu 1: Rezolvați inecuația \( 3x - 6 \gt 0 \).

\( 3x - 6 \gt 0 \Rightarrow 3x \gt 6 \Rightarrow x \gt 2 \).

Răspuns: \( x \in (2, +\infty) \).

Exemplu 2: Rezolvați inecuația \( -2x + 5 \le 1 \).

\( -2x + 5 \le 1 \Rightarrow -2x \le 1 - 5 = -4 \Rightarrow x \ge \dfrac{-4}{-2} = 2 \). (am împărțit cu \(-2\), deci am schimbat sensul inecuației).

Răspuns: \( x \in [2, +\infty) \).

Inecuții de gradul II. Metoda intervalelor

Pentru inecuațiile de forma \( ax^2 + bx + c \, \square \, 0 \) (cu \( a \ne 0 \)), folosim adesea metoda intervalelor.

Pașii metodei intervalelor

  • 1. Aducem totul pe o singură parte: \( ax^2 + bx + c \, \square \, 0 \).
  • 2. Calculăm rădăcinile ecuației \( ax^2 + bx + c = 0 \).
  • 3. Reprezentăm rădăcinile pe axa reală și împărțim în intervale.
  • 4. Stabilim semnul expresiei pe fiecare interval (de ex. folosind un tabel de semne).
  • 5. Alegem intervalele care respectă inecuația (\( \gt 0, \ge 0, \lt 0, \le 0 \)).

Exemplu 3: Rezolvați inecuația \( x^2 - 5x + 6 \ge 0 \).

1) Rezolvăm ecuația asociată: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). \( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \). \( x_1 = 2, \ x_2 = 3 \).

2) Axa reală este împărțită în intervalele: \( (-\infty, 2), \ [2,3], \ (3, +\infty) \).

3) Fiind un polinom de gradul 2 cu \( a = 1 \gt 0 \), semnul expresiei este:

  • pozitiv pe \( (-\infty, 2) \);
  • zero în punctele \( x = 2, x = 3 \);
  • negativ pe intervalul \( (2,3) \);
  • pozitiv pe \( (3, +\infty) \).

4) Căutăm unde \( x^2 - 5x + 6 \ge 0 \): adică unde este pozitiv sau zero.

Răspuns: \( x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty) \).

Exemplu 4: Rezolvați inecuația \( x^2 - 4x \lt 0 \).

1) Factorizăm: \( x^2 - 4x = x(x - 4) \). Ecuația asociată: \( x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 4 \).

2) Intervalele: \( (-\infty, 0), (0, 4), (4, +\infty) \).

3) Analizăm semnul lui \( x \) și \( x - 4 \) pe fiecare interval, sau ne amintim că pentru \( a \gt 0 \), expresia este negativă între rădăcini.

Răspuns: \( x \in (0,4) \).

Inecuții raționale și metoda intervalelor

O inecuație rațională este de forma:

\( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \, \square \, 0 \), unde \( P(x), Q(x) \) sunt polinoame, \( Q(x) \ne 0 \).

Pașii metodei intervalelor pentru inecuații raționale

  • 1. Stabilim condițiile de existență: \( Q(x) \ne 0 \).
  • 2. Aducem inecuația la forma \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \, \square \, 0 \).
  • 3. Rezolvăm ecuațiile \( P(x) = 0 \) și \( Q(x) = 0 \) (puncte critice).
  • 4. Reprezentăm aceste valori pe axă și împărțim în intervale.
  • 5. Stabilim semnul fracției pe fiecare interval.
  • 6. Alegem intervalele care satisfac inecuația și excludem punctele unde \( Q(x) = 0 \).

Exemplu 5: Rezolvați inecuația \( \dfrac{x-1}{x+2} \ge 0 \).

1) Condiție de existență: \( x+2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2 \).

2) Puncte critice:

  • numărător zero: \( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \);
  • numitor zero: \( x+2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) (se exclude din soluție).

3) Intervalele determinate de \(-2\) și \(1\): \( (-\infty, -2), (-2, 1), [1, +\infty) \).

4) Analizăm semnul:

  • Pe \( (-\infty, -2) \): de exemplu \( x = -3 \Rightarrow x-1 = -4 \lt 0, \ x+2 = -1 \lt 0 \Rightarrow \dfrac{x-1}{x+2} \gt 0 \).
  • Pe \( (-2, 1) \): de exemplu \( x = 0 \Rightarrow x-1 = -1 \lt 0, \ x+2 = 2 \gt 0 \Rightarrow \dfrac{x-1}{x+2} \lt 0 \).
  • Pe \( (1, +\infty) \): de exemplu \( x = 2 \Rightarrow x-1 = 1 \gt 0, \ x+2 = 4 \gt 0 \Rightarrow \dfrac{x-1}{x+2} \gt 0 \).

5) Căutăm unde \( \dfrac{x-1}{x+2} \ge 0 \): pozitivi + punctele în care numărătorul e zero (dacă sunt admise).

  • Intervale pozitive: \( (-\infty, -2) \) și \( (1, +\infty) \);
  • În \( x = 1 \), expresia este 0, deci punctul se include; în \( x = -2 \) fracția nu este definită.

Răspuns: \( x \in (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) \).

Exemplu 6: Rezolvați inecuația \( \dfrac{x}{x-3} \lt 2 \).

1) Condiție: \( x-3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \).

2) Aducem totul de aceeași parte:

\( \dfrac{x}{x-3} - 2 \lt 0 \Rightarrow \dfrac{x - 2(x-3)}{x-3} \lt 0 \Rightarrow \dfrac{x - 2x + 6}{x-3} \lt 0 \Rightarrow \dfrac{6 - x}{x-3} \lt 0 \).

3) Puncte critice:

  • numărător zero: \( 6 - x = 0 \Rightarrow x = 6 \);
  • numitor zero: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) (se exclude).

4) Intervalele: \( (-\infty, 3), (3, 6), [6, +\infty) \).

5) Semnul expresiei \( \dfrac{6-x}{x-3} \):

  • Pe \( (-\infty, 3) \): luăm \( x = 0 \Rightarrow 6-x = 6 \gt 0, x-3 = -3 \lt 0 \Rightarrow fracția \lt 0 \).
  • Pe \( (3, 6) \): luăm \( x = 4 \Rightarrow 6-x = 2 \gt 0, x-3 = 1 \gt 0 \Rightarrow fracția \gt 0 \).
  • Pe \( (6, +\infty) \): luăm \( x = 7 \Rightarrow 6-x = -1 \lt 0, x-3 = 4 \gt 0 \Rightarrow fracția \lt 0 \).

6) Căutăm unde \( \dfrac{6-x}{x-3} \lt 0 \): adică pe intervalele \( (-\infty, 3) \) și \( (6, +\infty) \). Punctul \( x = 6 \) nu se ia, deoarece inecuația este strictă (\( \lt 0 \)).

Răspuns: \( x \in (-\infty, 3) \cup (6, +\infty) \).

Sisteme de inecuații

Un sistem de inecuații este un ansamblu de două sau mai multe inecuații care trebuie îndeplinite în același timp.

De exemplu:

\( \begin{cases} 2x - 1 \gt 0, \\ x + 3 \le 7 \end{cases} \)

Soluția sistemului este intersecția mulțimilor de soluții ale fiecărei inecuații.

Exemplu 7: Rezolvați sistemul: \( \begin{cases} 2x - 1 \gt 0, \\ x + 3 \le 7 \end{cases} \)

1) Prima inecuație: \( 2x - 1 \gt 0 \Rightarrow 2x \gt 1 \Rightarrow x \gt \dfrac{1}{2} \). 2) A doua inecuație: \( x + 3 \le 7 \Rightarrow x \le 4 \).

Soluțiile sistemului: \( x \) trebuie să fie simultan \( x \gt \dfrac{1}{2} \) și \( x \le 4 \).

Răspuns: \( x \in \left( \dfrac{1}{2}, 4 \right] \).

Exemplu 8: Rezolvați sistemul: \( \begin{cases} x^2 - 4x \ge 0, \\ x - 1 \gt 0 \end{cases} \)

1) Pentru \( x^2 - 4x \ge 0 \Rightarrow x(x-4) \ge 0 \). Rădăcini: \( x = 0, x = 4 \). Parabolă cu \( a = 1 \gt 0 \Rightarrow \) expresia este \(\ge 0\) în afara intervalului dintre rădăcini: \[ x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty). \]

2) A doua inecuație: \( x - 1 \gt 0 \Rightarrow x \gt 1 \Rightarrow x \in (1, +\infty) \).

3) Intersecția: \[ \left[ (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \right] \cap (1, +\infty) = [4, +\infty). \]

Răspuns: \( x \in [4, +\infty) \).

Înapoi Următor