Funcții

Funcții

Definiție

O funcție este o corespondență:

\[ f \colon A \to B, \]

care asociază fiecărui \( x \in A \) un singur element \( f(x) \in B \).

  • \( A \) – domeniul de definiție (valorile permise pentru \( x \));
  • \( B \) – mulțimea de sosire (codomeniul);
  • \( f(x) \) – valoarea funcției în punctul \( x \).

Structura unei funcții

  • Notarea obișnuită: \( y = f(x) \) sau „\( f \) de \( x \)”.
  • Domeniu: mulțimea tuturor valorilor lui \( x \) pentru care formula are sens.
  • Imagine: mulțimea valorilor de forma \( f(x) \) (toate rezultatele posibile).

Cum se citește o funcție

  • \( f(x) = 2x - 3 \): „f de x este egal cu 2x minus 3”.
  • \( y = x^2 \): „y egal x la pătrat”.
  • \( g(x) = \sqrt{x} \): „g de x este radical din x”.

Graficul unei funcții

Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor \( (x, f(x)) \) într-un sistem de axe cartezian.

  • Pe axa orizontală (Ox) reprezentăm valorile lui \( x \) (argumentul).
  • Pe axa verticală (Oy) reprezentăm valorile lui \( y = f(x) \).
  • Fiecare punct al graficului are coordonatele \( (x, f(x)) \).

Exemplu 1: Funcția \( y = 2x \).

Pentru câteva valori:

  • \( x = -1 \Rightarrow y = 2 \cdot (-1) = -2 \Rightarrow (-1, -2) \);
  • \( x = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow (0, 0) \);
  • \( x = 2 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow (2, 4) \).

Punctele sunt aliniate pe o dreaptă care trece prin origine.

Schiță de grafic pentru o funcție liniară \( y = 2x \)

Proprietăți ale unei funcții

  • Domeniu – mulțimea valorilor admise pentru \( x \).
  • Valori de anulare (rădăcini) – valorile lui \( x \) pentru care \( f(x) = 0 \).
  • Semnul funcției – unde \( f(x) \gt 0 \), \( f(x) = 0 \), \( f(x) \lt 0 \).
  • Monotonie – funcția este:
    • crescătoare dacă \( x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \lt f(x_2) \);
    • descrescătoare dacă \( x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \gt f(x_2) \).

Funcții de gradul I

O funcție de gradul I este de forma:

\[ f(x) = ax + b, \quad a,b \in \mathbb{R}, \ a \ne 0. \]
  • Domeniu tipic: \( \mathbb{R} \).
  • Graficul este o dreaptă (funcție liniară sau afină).
  • Sensul de creștere depinde de semnul lui \( a \):
    • dacă \( a \gt 0 \): funcție crescătoare;
    • dacă \( a \lt 0 \): funcție descrescătoare.

Exemplu 2: Studiați funcția \( f(x) = 2x - 1 \).

  • Domeniul: \( D_f = \mathbb{R} \).
  • Tip: funcție de gradul I (liniară afină).
  • Zero: rezolvăm \( 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} \).
  • Grafic: o dreaptă cu pantă \( 2 \) (funcție crescătoare).

Funcția de proporționalitate inversă

Funcția de proporționalitate inversă este de forma:

\[ y = \dfrac{k}{x}, \quad k \in \mathbb{R}^*, \ x \ne 0. \]
  • Domeniul: \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
  • Graficul este o hiperbolă rectangulară (două ramuri).
  • Există două situații diferite:
    • dacă \( k \gt 0 \): ramuri în cadranele I și III (x și y au același semn);
    • dacă \( k \lt 0 \): ramuri în cadranele II și IV (x și y au semne opuse).
  • Nu este definită în punctul \( x = 0 \).

Funcția modul: \( f(x) = |x| \)

  • Domeniul: \( \mathbb{R} \).
  • Definiție: \[ |x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0, \\ -x, & \text{dacă } x \lt 0. \end{cases} \]
  • Grafic: „V” cu vârful în origine.

Grafic schematic pentru funcția modul \( y = |x| \)

Funcția radical: \( f(x) = \sqrt{x} \)

  • Domeniul: \( D_f = [0, +\infty) \).
  • Valori: \( f(x) \ge 0 \).
  • Funcție crescătoare: dacă \( 0 \le x_1 < x_2 \Rightarrow \sqrt{x_1} \lt \sqrt{x_2} \).
  • Grafic: pornește din punctul \( (0,0) \) și crește lent, curbă spre dreapta.

Grafic schematic pentru funcția radical \( y = \sqrt{x} \)

Funcția de gradul II: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

  • \( a,b,c \in \mathbb{R} \), \( a \ne 0 \).
  • Grafic: parabolă.
  • Dacă \( a \gt 0 \): deschisă în sus; dacă \( a \lt 0 \): deschisă în jos.

Proprietăți ale funcției de gradul II

  • Axa de simetrie: \( x = -\dfrac{b}{2a} \).
  • Vârful parabolei (vertex): \[ V\left( -\dfrac{b}{2a}, \ -\dfrac{\Delta}{4a} \right), \quad \Delta = b^2 - 4ac. \]
  • Rădăcini (dacă există): soluțiile ecuației \( ax^2 + bx + c = 0 \).

Exemplu 3: Studiați \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).

  • \( a = 1, b = -4, c = 3 \).
  • \( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
  • Rădăcini: \[ x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x_1 = 1, \ x_2 = 3. \]
  • Axa de simetrie: \( x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{4}{2} = 2 \).
  • Vârful: \[ V(2, f(2)) = (2, 2^2 - 4 \cdot 2 + 3) = (2, -1). \]

Parabola intersectează axa Ox în punctele \( (1,0) \) și \( (3,0) \), are vârful în \( (2,-1) \) și este deschisă în sus.

Grafic schematic pentru o parabolă \( y = x^2 - 4x + 3 \) cu ramurile în sus

Funcția de gradul III: \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

  • \( a,b,c,d \in \mathbb{R} \), \( a \ne 0 \).
  • Graficul este o curbă, în general cu formă de „S” (dacă \( a \gt 0 \)) sau „S” inversat (dacă \( a \lt 0 \)).
  • Poate avea:
    • una, două sau trei rădăcini reale (intersecții cu axa Ox);
    • maximum un punct de maxim local și unul de minim local.

Exemplu 4: Studiați simplu funcția \( f(x) = x^3 \).

  • Domeniu: \( \mathbb{R} \).
  • Valori: \( \mathbb{R} \).
  • Funcție crescătoare pe tot \( \mathbb{R} \).
  • Grafic: curbă care trece prin origine, crește din stânga jos spre dreapta sus.

Grafic schematic pentru funcția cubică \( y = x^3 \)

Exemple de exerciții la tema funcții

Exemplul 5: Pentru funcția \( f(x) = 3x - 2 \):

  • a) Calculați \( f(0) \), \( f(2) \), \( f(-1) \).
  • b) Găsiți zero-ul funcției.

Rezolvare:

a) \( f(0) = 3 \cdot 0 - 2 = -2 \);
\( f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 4 \);
\( f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5 \).

b) Zero: rezolvăm \( 3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3} \).

Răspuns: \( f(0) = -2 \), \( f(2) = 4 \), \( f(-1) = -5 \), zero: \( x = \dfrac{2}{3} \).

Exemplul 6: Determinați domeniul funcției \( g(x) = \dfrac{2x+1}{x^2-1} \).

Condiția: numitorul \( x^2 - 1 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 1 \Rightarrow x \ne \pm 1 \).
Deci:

Răspuns: \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).

Exemplul 7: Comparați graficele funcțiilor \( f(x) = x^2 \) și \( h(x) = |x| \) în jurul lui 0.

Pentru valori apropiate de 0:

  • ambele funcții au valori \( \ge 0 \);
  • pentru \(|x| < 1\), \( x^2 \lt |x| \) (de exemplu, pentru \( x = 0,5 \): \( x^2 = 0,25 \), \( |x| = 0,5 \));
  • graficul lui \( y = |x| \) este mai „ascuțit”, iar graficul lui \( y = x^2 \) este mai „rotunjit”.

Exemplul 8: Stabiliți dacă următoarele corespondențe sunt funcții:

  • a) fiecărui număr real \( x \) îi asociem \( x^2 \);
  • b) fiecărui număr real \( x \) îi asociem \( \sqrt{x} \);
  • c) fiecărui număr real \( x \) îi asociem soluțiile ecuației \( t^2 = x \).

Rezolvare (idee):

  • a) este funcție: fiecărui \( x \) îi corespunde un singur \( x^2 \);
  • b) este funcție doar pe domeniul \( [0, +\infty) \);
  • c) nu este funcție, deoarece unui \( x \gt 0 \) îi corespund două valori: \( \sqrt{x} \) și \( -\sqrt{x} \).

Înapoi Următor