Logaritmi

1. Definitii ale logaritmilor

Logaritmul este operatia de a afla la ce putere trebuie ridicata baza logaritmului, ca rezultatul sa fie numarul dinauntrul logaritmului.

\( \log_a b = c \iff a^c = b \).

Se citeste ca "logaritm in baza a din b"

Proprietăți ale logaritmilor

\( \log_a 1 = 0 \)
\( \log_a a = 1 \)
\( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)
\( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \)
\( \log_a b^n = n \cdot \log_a b \)
\( \log_{a^m} b = \frac{1}{m} \cdot \log_a b \)
\( a^{\displaystyle \log_a b} = b \)
\(\displaystyle \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \)
\( \ln a = \log_e a \), unde \( e \approx 2.71 \) (logaritm natural)
\( \lg a = \log_{10} a \) (logaritm zecimal)

2. Exemple simple rezolvate

\( \log_{16} 1 = 0 \); \( \log_{15} 1 = 0 \).
\( \log_9 9 = 1 \); \( \log_4 4 = 1 \); \( \log_{30} 30 = 1 \).
\( \log_2 32 = 5 \); \( \log_{11} 11^6 = 6 \log_{11} 11 = 6 \cdot 1 = 6 \).
\( \log_{36} 6 + \log_{36} 6 = \log_{36} (6 \cdot 6) = \log_{36} 36 = 1 \).
\( \log_9 18 - \log_9 2 = \log_9 \frac{18}{2} = \log_9 9 = 1 \).
\( \log_7 7^2 = 2 \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2 \).
\( \log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \log_2 2 = \frac{3}{2} \).
\(\displaystyle \frac{1}{\log_5 4} = \log_4 5 \); \(\displaystyle \frac{1}{\log_7 9} = \log_9 7 \).

3. Exemplu complex rezolvat

De rezolvat: \(\displaystyle \log_3 \frac{2}{3} + \log_3 18 - \log_{\sqrt{3}} 2 \)

\[ \log_3 \left( \frac{2}{3} \cdot 18 \right) - \log_{3^\frac{1}{2}} 2 \]
\[ \log_3 \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{18}{1} \right) - \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 2 \]
\[ \log_3 \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{6}{1} \right) - 1 : \frac{1}{2} \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - 1 \cdot \frac{2}{1} \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - 2 \cdot \log_3 2 \]
\[ \log_3 12 - \log_3 2^2 \]
\[ \log_3 12 - \log_3 4 \]
\[ \log_3 \frac{12}{4} \]
\[ \log_3 3 \]
\[ 1 \]

Răspuns: \( 1 \)

Exerciții

\( \displaystyle \log_2 8 \)

\( \displaystyle \log_5 25 \)

\( \displaystyle \log_3 81 \)

\( \displaystyle \lg 1000 \)

\( \displaystyle \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} \)

\( \displaystyle \log_7 49 \)

\( \displaystyle \log_3 \frac{1}{27} \)

\( \lg 0,001 \)

\( \displaystyle \log_4 8 \)

\( \displaystyle \log_4 \sqrt[4]{8} \)

\( \displaystyle \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{9} \)

\( \displaystyle \log_6 48 - \log_6 4 + \log_6 3 + \log_2 \frac{1}{8} \)

\( \displaystyle \log_7 56 + \log_7 2 - 2 \log_7 4 \)

\( \displaystyle \log_{12} 3 + \log_{12} 4 + 12^{\log_{144} 4} + \log_{\frac{1}{2}} 8 \)

\( \displaystyle 0,8 \cdot \big(1 + 9^{\log_3 8} \big) ^{\log_{65} 5} \)

\( \displaystyle 2^{3 + \log_2 3} - \log_3 \frac{1}{27} \)

\( \displaystyle \sqrt{100^{1 - \lg 2}} \)

\( \displaystyle 2^{2 + \log_8 125} - 2^{\frac{2}{\log_7 2}} \)

\( \displaystyle 2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16 \)

\( \displaystyle \log_{125} 5 - \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2} + \log_{2,5} 0,4 - \log_8 2 \)

Răspunsuri

\( \displaystyle 3 \)

\( \displaystyle 2 \)

\( \displaystyle 4 \)

\( \displaystyle 3 \)

\( \displaystyle 4 \)

\( \displaystyle 2 \)

\( \displaystyle -3 \)

\( \displaystyle \frac{3}{2} \)

\( \displaystyle \frac{3}{8} \)

\( \displaystyle -\frac{2}{3} \)

\( \displaystyle -1 \)

\( \displaystyle 1 \)

\( \displaystyle 0 \)

\( \displaystyle 4 \)

\( \displaystyle 27 \)

\( \displaystyle 5 \)

\( \displaystyle -29 \)

\( \displaystyle 2 \)

\( \displaystyle 1 \)

Rezolvări

Deoarece \( \displaystyle 8 = 2^3 \), rezultă că \( \displaystyle \log_2 8 = 3 \)
Verificăm: \( \displaystyle 2^3 = 8 \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle 3 \).

Deoarece \( \displaystyle 25 = 5^2 \), rezultă că \( \displaystyle \log_5 25 = 2 \)
Verificăm: \( \displaystyle 5^2 = 25 \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle 2 \).

Deoarece \( \displaystyle 81 = 3^4 \), rezultă că \( \displaystyle \log_3 81 = 4 \)
Verificăm: \( \displaystyle 3^4 = 81 \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle 4 \).

Deoarece \( \displaystyle \lg x = \log_{10} x \), iar \( \displaystyle 1000 = 10^3 \), rezultă că \( \displaystyle \lg 1000 = 3 \)
Verificăm: \( \displaystyle 10^3 = 1000 \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle 3 \).

Deoarece \( \displaystyle \frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 \), rezultă că \( \displaystyle \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4 \)
Verificăm: \( \displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16} \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle 4 \).

Deoarece \( \displaystyle 49 = 7^2 \), rezultă că \( \displaystyle \log_7 49 = 2 \)
Verificăm: \( \displaystyle 7^2 = 49 \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle 2 \).

Deoarece \( \displaystyle \frac{1}{27} = 3^{-3} \), rezultă că \( \displaystyle \log_3 \frac{1}{27} = -3 \)
Verificăm: \( \displaystyle 3^{-3} = \frac{1}{27} \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle -3 \).

Deoarece \( \displaystyle 0,001 = 10^{-3} \), rezultă că \( \displaystyle \lg 0,001 = -3 \)
Verificăm: \( \displaystyle 10^{-3} = 0,001 \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle -3 \).

\( \displaystyle 4 = 2^2 \), deci baza este \( \displaystyle 2^2 \)
\( \displaystyle 8 = 2^3 \), deci argumentul este \( \displaystyle 2^3 \)
Deoarece \( \displaystyle \log_{2^2} 2^3 = 3 \cdot \log_{2^2} 2 \)
Și \( \displaystyle \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \)
Rezultă \( \displaystyle 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
Verificăm: \( \displaystyle 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8 \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle \frac{3}{2} \).

\( \displaystyle \sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} \)
Deoarece \( \displaystyle 8 = 2^3 \), rezultă \( \displaystyle 8^{\frac{1}{4}} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \)
\( \displaystyle \log_4 \left(2^{\frac{3}{4}}\right) = \log_4 8^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \log_4 8 \)
Din exercițiul anterior, \( \displaystyle \log_4 8 = \frac{3}{2} \)
Rezultă \( \displaystyle \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8} \)
Verificăm: \( \displaystyle 4^{\frac{3}{8}} = (2^2)^{\frac{3}{8}} = 2^{\frac{6}{8}} = 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{8} \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle \frac{3}{8} \).

\( \displaystyle \sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} \)
Deoarece \( \displaystyle 9 = 3^2 \), rezultă \( \displaystyle 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \)
\( \displaystyle \log_{\frac{1}{3}} \left(3^{\frac{2}{3}}\right) \)
Baza \( \displaystyle \frac{1}{3} = 3^{-1} \), deci \( \displaystyle \log_{3^{-1}} 3^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{-1} \cdot \log_3 3^{\frac{2}{3}} = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \)
Verificăm: \( \displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{9} \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle -\frac{2}{3} \).

\( \displaystyle \log_6 48 - \log_6 4 + \log_6 3 = \log_6 \left( \frac{48 \cdot 3}{4} \right) \)
Calculăm interiorul: \( \displaystyle \frac{48 \cdot 3}{4} = \frac{144}{4} = 36 \)
Deoarece \( \displaystyle 36 = 6^2 \), rezultă \( \displaystyle \log_6 36 = 2 \)
Acum, \( \displaystyle \log_2 \frac{1}{8} = \log_2 (2^{-3}) \)
Deoarece \( \displaystyle \log_2 (2^{-3}) = -3 \log_2 2 = -3 \cdot 1 = -3 \)
Adunăm termenii: \( \displaystyle 2 + (-3) = -1 \)
Deci rezultatul final este \( \displaystyle -1 \).

\( \displaystyle 2 \log_7 4 = \log_7 (4^2) = \log_7 16 \)
\( \displaystyle \log_7 56 + \log_7 2 = \log_7 (56 \cdot 2) = \log_7 112 \)
Acum, \( \displaystyle \log_7 112 - \log_7 16 = \log_7 \left( \frac{112}{16} \right) \)
Calculăm: \( \displaystyle \frac{112}{16} = 7 \)
Deoarece \( \displaystyle \log_7 7 = 1 \), rezultatul este \( \displaystyle 1 \)
Verificăm: \( \displaystyle 7^1 = 7 \), deci logaritmul este corect \( \displaystyle 1 \).

\( \displaystyle \log_{12} 3 + \log_{12} 4 = \log_{12} (3 \cdot 4) = \log_{12} 12 \)
Deoarece \( \displaystyle \log_{12} 12 = 1 \), primul termen este \( \displaystyle 1 \)
Acum, \( \displaystyle 144 = 12^2 \), deci baza este \( \displaystyle 12^2 \)
\( \displaystyle \log_{144} 4 = \log_{12^2} 4 = \frac{1}{2} \log_{12} 4 \)
\( \displaystyle 12^{\log_{144} 4} = 12^{\frac{1}{2} \log_{12} 4} = \left( 12^{\log_{12} 4} \right)^{\frac{1}{2}} \)
Deoarece \( \displaystyle 12^{\log_{12} 4} = 4 \), rezultă \( \displaystyle 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \)
Al treilea termen: \( \displaystyle \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = 3 \log_{\frac{1}{2}} 2 \)
Deoarece \( \displaystyle \log_{\frac{1}{2}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{1}{-1} = -1 \), rezultă \( \displaystyle 3 \cdot (-1) = -3 \)
Adunăm termenii: \( \displaystyle 1 + 2 - 3 = 0 \)
Deci rezultatul final este \( \displaystyle 0 \).

\( \displaystyle 9 = 3^2 \), deci \( \displaystyle 9^{\log_3 8} = (3^2)^{\log_3 8} \)
Simplificăm: \( \displaystyle (3^2)^{\log_3 8} = 3^{2 \log_3 8} = (3^{\log_3 8})^2 = 8^2 = 64 \)
Verificăm: \( \displaystyle 8^2 = 64 \), corect
Acum, \( \displaystyle 1 + 64 = 65 \)
Următorul termen: \( \displaystyle 65^{\log_{65} 5} \)
Deoarece \( \displaystyle a^{\log_a b} = b \), rezultă \( \displaystyle 65^{\log_{65} 5} = 5 \)
În final: \( \displaystyle 0,8 \cdot 5 = 4 \)
Deci rezultatul este \( \displaystyle 4 \).

\( \displaystyle 2^{3 + \log_2 3} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 3} \)
Deoarece \( \displaystyle 2^3 = 8 \) și \( \displaystyle 2^{\log_2 3} = 3 \), rezultă \( \displaystyle 8 \cdot 3 = 24 \)
Acum, \( \displaystyle \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 (3^{-3}) \)
Deoarece \( \displaystyle \log_3 (3^{-3}) = -3 \log_3 3 = -3 \cdot 1 = -3 \)
Scădem: \( \displaystyle 24 - (-3) = 24 + 3 = 27 \)
Deci rezultatul final este \( \displaystyle 27 \).

\( \displaystyle 100 = 10^2 \), deci \( \displaystyle 100^{1 - \lg 2} = (10^2)^{1 - \lg 2} = 10^{2(1 - \lg 2)} = 10^{2 - 2\lg 2} \)
Separăm: \( \displaystyle 10^{2 - 2\lg 2} = 10^2 \cdot 10^{-2\lg 2} \)
Deoarece \( \displaystyle 10^{\lg 2} = 2 \), rezultă \( \displaystyle 10^{-2\lg 2} = (10^{\lg 2})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \)
Acum, \( \displaystyle 10^2 \cdot \frac{1}{4} = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25 \)
În final: \( \displaystyle \sqrt{25} = 5 \)
Deci rezultatul este \( \displaystyle 5 \).

\( \displaystyle 8 = 2^3 \), deci \( \displaystyle \log_8 125 = \log_{2^3} 125 = \frac{1}{3} \log_2 125 \)
\( \displaystyle 125 = 5^3 \), deci \( \displaystyle \log_2 125 = \log_2 (5^3) = 3 \log_2 5 \)
Rezultă \( \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 3 \log_2 5 = \log_2 5 \)
Acum, \( \displaystyle 2^{2 + \log_8 125} = 2^{2 + \log_2 5} = 2^2 \cdot 2^{\log_2 5} = 4 \cdot 5 = 20 \)
Următorul termen: \( \displaystyle \frac{2}{\log_7 2} = 2 \cdot \frac{1}{\log_7 2} = 2 \log_2 7 \)
Deoarece \( \displaystyle \frac{1}{\log_7 2} = \log_2 7 \)
\( \displaystyle 2^{2 \log_2 7} = (2^{\log_2 7})^2 = 7^2 = 49 \)
Scădem: \( \displaystyle 20 - 49 = -29 \)
Deci rezultatul final este \( \displaystyle -29 \).

\( \displaystyle \lg 16 = \lg (2^4) = 4 \lg 2 \)
Deoarece \( \displaystyle \lg (2^4) = 4 \lg 2 \), corect
Acum, \( \displaystyle \frac{1}{2} \lg 16 = \frac{1}{2} \cdot 4 \lg 2 = 2 \lg 2 \)
Adunăm: \( \displaystyle 2 \lg 5 + 2 \lg 2 = 2 (\lg 5 + \lg 2) \)
\( \displaystyle \lg 5 + \lg 2 = \lg (5 \cdot 2) = \lg 10 \)
Deoarece \( \displaystyle \lg 10 = 1 \), rezultă \( \displaystyle 2 \cdot 1 = 2 \)
Deci rezultatul final este \( \displaystyle 2 \).

Primul termen: \( \displaystyle 125 = 5^3 \), deci \( \displaystyle \log_{125} 5 = \log_{5^3} 5 = \frac{1}{3} \log_5 5 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \)
Al doilea termen: \( \displaystyle \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \), deci \( \displaystyle \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2} = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^{-1} = \frac{-1}{\frac{1}{2}} = -2 \)
Al treilea termen: \( \displaystyle \log_{2,5} 0,4 = \log_{2,5} \frac{4}{10} = \log_{2,5} \frac{2}{5} \)
Deoarece baza \( \displaystyle 2,5 = \frac{5}{2} \) și argumentul \( \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \), observăm că \( \displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{-1} = \frac{2}{5} \)
Rezultă \( \displaystyle \log_{\frac{5}{2}} \frac{2}{5} = \log_{\frac{5}{2}} \left( \frac{5}{2} \right)^{-1} = -1 \)
Al patrulea termen: \( \displaystyle 8 = 2^3 \), deci \( \displaystyle \log_8 2 = \log_{2^3} 2 = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \)
Adunăm termenii: \( \displaystyle \frac{1}{3} - (-2) + (-1) - \frac{1}{3} \)
Pas cu pas: \( \displaystyle \frac{1}{3} + 2 - 1 - \frac{1}{3} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}) + 2 - 1 = 0 + 1 = 1 \)
Deci rezultatul final este \( \displaystyle 1 \).

Cuprins

Explicație
Exerciții