Ecuații de gradul 1

Definiție

O ecuație de gradul 1 este o relație de forma:

\( ax + b = 0 \), unde \( a \neq 0 \)

Rezolvarea ecuației constă în găsirea valorii necunoscutei \( x \) care satisface această relație.

Desfacerea parantezelor:
Dacă ecuația conține paranteze, le desfacem folosind proprietățile distributive ale operațiilor: \[ a(b + c) = ab + ac \] Exemplu: \( 2(x + 3) = 4 \) devine \( 2x + 6 = 4 \).

Daca avem doua paranteze inmultite: \( (a + b)(c + d) \), atunci inmultim fiecare termen din prima paranteza cu fiecare termen din a doua paranteza: \[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
Adunarea sau scăderea termenilor:
Mutăm toți termenii care conțin \( x \) în partea stângă și termenii fără \( x \) în partea dreaptă a ecuației. Schimbăm semnul termenilor care trec dintr-o parte în alta. Exemplu: \( 2x + 6 = 4 \) devine \( 2x = 4 - 6 \).
Împărțirea pentru izolarea lui \(x\):
Împărțim toți termenii ecuației la coeficientul lui \( x \), astfel încât să obținem \( x \) izolat. Exemplu: \( 2x = -2 \) devine \( x = \frac{-2}{2} = -1 \).

Soluția unei ecuații de gradul 1 este scrisă sub forma:

\( S = \{ x \} \)

Unde \( x \) este soluția ecuației.

De exemplu, pentru ecuația \( 2x - 4 = 0 \), soluția este:

\( S = \{ 2 \} \)

Rezolvați ecuația: \( 3x - 7 = 2x + 5 \)

Soluție: \[ 3x - 2x = 5 + 7 \] \[ x = 12 \] Răspuns: \( S = \{ 12 \} \)
Rezolvați ecuația: \( 5(x - 2) + 4 = 3x + 14 \)

Soluție:
Desfacem parantezele: \[ 5x - 10 + 4 = 3x + 14 \] Grupăm termenii cu \( x \) în stânga și termenii liberi în dreapta: \[ 5x - 3x = 14 + 10 - 4 \] Simplificăm: \[ 2x = 20 \] Împărțim la 2: \[ x = 10 \] Răspuns: \( S = \{ 10 \} \)
Rezolvați ecuația: \( -6(x + 2) = 3x - 18 \)

Soluție:
Desfacem parantezele: \[ -6x - 12 = 3x - 18 \] Grupăm termenii: \[ -6x - 3x = -18 + 12 \] Simplificăm: \[ -9x = -6 \] Împărțim la \(-9\): \[ x = \frac{-6}{-9} = \frac{2}{3} \] Răspuns: \( S = \left\{ \frac{2}{3} \right\} \)

Orice ecuație de forma \( ax = 0 \) are soluția \( x = 0 \) dacă \( a \neq 0 \).
O ecuație nu are soluție dacă ambele părți sunt egale, dar necunoscuta se elimină (ex.: \( 0 = 5 \)).
O ecuație este adevărată pentru orice valoare a lui \( x \) dacă ambele părți sunt identice (ex.: \( 0 = 0 \)).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 2(x - 3) + 4 = 12 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 3(2x + 1) - 5 = 7 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x + 4}{2} + 3 = 6 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 5(x - 2) - 2(x + 1) = 6 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 4(x - 1) + 3(x + 2) = 19 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 6(x + 3) - 2(x - 4) = 26 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 2(x - 5) + 3(x + 2) - x = 14 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{3x + 2}{4} = 5 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 7(x - 2) - 4(2x + 1) = 10 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 3(2x + 1) - (x - 4) = 12 \)

\( x = 5 \)

\( x = 2 \)

\( x = -1 \)

\( x = 4 \)

\( x = 3 \)

\( x = 1 \)

\( x = 6 \)

\( x = -2 \)

\( x = 3 \)