Adunarea și Scăderea
Se adună partea reală cu partea reală și partea imaginară cu partea imaginară. La fel și în cazul scăderii.
Exemplu:
- \(\displaystyle (2 + 3i) + (4 - 2i) = (2 + 4) + (3i - 2i) = 6 + i \)
- \(\displaystyle (5 + 7i) - (3 + 2i) = (5 - 3) + (7i - 2i) = 2 + 5i \)
Înmulțirea
Se înmulțesc la fel ca ecuațiile.
Algoritmul de desfacere a parantezelor: \( (a + b)(c + d) \), aplicăm regula distributivă, adica inmultim fiecare termen din prima paranteza cu fiecare termen din a doua paranteza: \[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
Exemplu:
\( (2 + 3i) \cdot (4 - i) \)
\(= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i) \)
\( = 8 - 2i + 12i - 3i^2 \)
\( = 8 + 10i - 3(-1) \)
\(= 8 + 10i + 3 \)
\(= 11 + 10i \)
Împărțirea (fractie)
Se amplifică cu conjugatul numitorului.
Exemplu:
\(\displaystyle \frac{5 + 2i}{3 - i} \)
\(\displaystyle = \frac{5 + 2i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i} \)
\(\displaystyle = \frac{(5 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} \)
\(\displaystyle = \frac{15 + 5i + 6i + 2i^2}{3^2 - i^2} \)
\(\displaystyle = \frac{15 + 11i - 2}{9 + 1} \)
\(\displaystyle = \frac{13 + 11i}{10} \)
\(\displaystyle = \frac{13}{10} + \frac{11}{10}i \)
Ridicarea la Putere
Pentru ridicarea la puteri întregi mari a numerelor pur imaginare (\(i\)), urmăm pașii:
- Dacă puterea este pară, descompunem în puterea 2 și calculăm separat restul. Rezultatul este \((-1)\) ridicat la puterea obținută.
- Dacă puterea este impară, scoatem un factor \(i\) și tratăm puterea rămasă ca număr par. Adică, \(i^n = i^{n-1} \cdot i\).
Exemple:
Cazul par:
\( i^{10} = (i^2)^5 = (-1)^5 = -1 \)
Cazul impar:
\( i^7 = i^6 \cdot i = (i^2)^3 \cdot i = (-1)^3 \cdot i = -i \)
1
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 1 + 3i - 4 + i \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -3, \ \operatorname{Im}(z) = 4, \ \overline{z} = -3 - 4i \)
2
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 7 - 8i - (2 - 3i) \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 5, \ \operatorname{Im}(z) = -5, \ \overline{z} = 5 + 5i \)
3
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 1 - 2i - 6i - 5 \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -4, \ \operatorname{Im}(z) = -8, \ \overline{z} = -4 + 8i \)
4
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 30 - 4i - (12 + 2i) \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 18, \ \operatorname{Im}(z) = -6, \ \overline{z} = 18 + 6i \)
5
Aflați partea reală, partea imaginară și conjugatul: \( 12 - 5i + 9i - 8 \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 4, \ \operatorname{Im}(z) = 4, \ \overline{z} = 4 - 4i \)
6
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (3 + 7i) + (2 + 9i)(1 - i) \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 12, \ \operatorname{Im}(z) = 10, \ \overline{z} = 12 - 10i \)
7
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (10 - 8i) - (-1 + 3i)(4 - i) \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 6, \ \operatorname{Im}(z) = -13, \ \overline{z} = 6 + 13i \)
8
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (2i - 1)(3 + 3i) - (5 + i) \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -2, \ \operatorname{Im}(z) = -8, \ \overline{z} = -2 + 8i \)
9
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (6i + 2) + (3 - 5i)(2i - 6) \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -28, \ \operatorname{Im}(z) = -2, \ \overline{z} = -28 + 2i \)
10
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (3 - 9i)(6 + 8i) - (10i + 3) \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 87, \ \operatorname{Im}(z) = -40, \ \overline{z} = 87 + 40i \)
11
Aflați \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \), \( \overline{z} \): \( (2i - 8)(5 - 9i) + (2i - 6) \)
Răspuns: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -22, \ \operatorname{Im}(z) = 82, \ \overline{z} = -22 - 82i \)
12
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{2 - i}{3 - 4i} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{14}{25} + \frac{11}{25}i \)
13
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{8 - 9i}{2i - 5} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{18}{29} - \frac{11}{29}i \)
14
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{12 + 3i}{3 - 4i} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{36}{25} + \frac{39}{25}i \)
15
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{4 - 6i}{1 + i} \)
Răspuns: \( \displaystyle -1 - 5i \)
16
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{5i + 3}{6i - 4} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{3}{26} + \frac{19}{26}i \)
17
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{3 - 3i}{3 + 3i} \)
Răspuns: \( \displaystyle 0 \)
18
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right)^{18} \)
Răspuns: \( \displaystyle -1 \)
19
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{5}{1 + 2i} - \frac{1 - 2i}{2 - i} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{5}{13} + \frac{16}{13}i \)
20
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \left( \frac{1}{1 - i} - \frac{1}{1 + i} \right)^2 \)
Răspuns: \( \displaystyle -1 \)
21
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( \displaystyle \frac{1}{1 + 2i} + \frac{1}{1 - 2i} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{2}{5} \)
22
Calculați \( \overline{z} \): \( \displaystyle \frac{2 + 3i}{5 - 6i} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{2}{61} - \frac{9}{61}i \)
23
Calculați \( \overline{z} \): \( \displaystyle \frac{-2i + 2}{9 - 3i} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{2}{30} + \frac{6}{30}i = \frac{1}{15} + \frac{1}{5}i \)
24
Calculați \( \overline{z} \): \( \displaystyle \frac{10 - 15i}{1 - i} \)
Răspuns: \( \displaystyle 10 + 5i \)
25
Calculați \( \overline{z} \): \( \displaystyle \frac{4 - 5i}{2 - i} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{13}{5} + \frac{2}{5}i \)
26
Calculați \( \overline{z} \): \( \displaystyle \frac{3 + 5i}{-i + 3} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{9}{10} - \frac{3}{10}i \)
27
Calculați \( \overline{z} \): \( \displaystyle \frac{6 + 3i}{1 - i} + \frac{3i + 1}{2 - i} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{9}{5} + \frac{3}{5}i \)
28
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^3 \)
Răspuns: \( \displaystyle -i \)
29
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^5 \)
Răspuns: \( \displaystyle i \)
30
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^8 \)
Răspuns: \( \displaystyle 1 \)
31
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{133} \)
Răspuns: \( \displaystyle i \)
32
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{2024} \)
Răspuns: \( \displaystyle 1 \)
33
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{-180} \)
Răspuns: \( \displaystyle 1 \)
34
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{248} \)
Răspuns: \( \displaystyle 1 \)
35
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^9 \)
Răspuns: \( \displaystyle i \)
36
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (2i)^5 \)
Răspuns: \( \displaystyle -32i \)
37
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (\sqrt{3} i)^8 \)
Răspuns: \( \displaystyle -9 \)
38
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{249} \)
Răspuns: \( \displaystyle i \)
39
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{89} \)
Răspuns: \( \displaystyle i \)
40
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{19} \)
Răspuns: \( \displaystyle i \)
41
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( i^{4042} \)
Răspuns: \( \displaystyle 1 \)
42
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{222} \)
Răspuns: \( \displaystyle -1 \)
43
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{149} \)
Răspuns: \( \displaystyle -i \)
44
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{87} \)
Răspuns: \( \displaystyle i \)
45
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-i)^{6} \)
Răspuns: \( \displaystyle -1 \)
46
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-2i)^9 \)
Răspuns: \( \displaystyle 512i \)
47
Calculați în \( \mathbb{C} \): \( (-2i)^{-11} \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{i}{2048} \)
1
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -3, \ \operatorname{Im}(z) = 4, \ \overline{z} = -3 - 4i \)
2
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 5, \ \operatorname{Im}(z) = -5, \ \overline{z} = 5 + 5i \)
3
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -4, \ \operatorname{Im}(z) = -8, \ \overline{z} = -4 + 8i \)
4
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 18, \ \operatorname{Im}(z) = -6, \ \overline{z} = 18 + 6i \)
5
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 4, \ \operatorname{Im}(z) = 4, \ \overline{z} = 4 - 4i \)
6
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 12, \ \operatorname{Im}(z) = 10, \ \overline{z} = 12 - 10i \)
7
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 6, \ \operatorname{Im}(z) = -13, \ \overline{z} = 6 + 13i \)
8
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -2, \ \operatorname{Im}(z) = -8, \ \overline{z} = -2 + 8i \)
9
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -28, \ \operatorname{Im}(z) = -2, \ \overline{z} = -28 + 2i \)
10
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 87, \ \operatorname{Im}(z) = -40, \ \overline{z} = 87 + 40i \)
11
\( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -22, \ \operatorname{Im}(z) = 82, \ \overline{z} = -22 - 82i \)
12
\( \displaystyle \frac{14}{25} + \frac{11}{25}i \)
13
\( \displaystyle \frac{18}{29} - \frac{11}{29}i \)
14
\( \displaystyle \frac{36}{25} + \frac{39}{25}i \)
15
\( \displaystyle -1 - 5i \)
16
\( \displaystyle \frac{3}{26} + \frac{19}{26}i \)
18
\( \displaystyle -1 \)
19
\( \displaystyle \frac{5}{13} + \frac{16}{13}i \)
20
\( \displaystyle -1 \)
21
\( \displaystyle \frac{2}{5} \)
22
\( \displaystyle \frac{2}{61} - \frac{9}{61}i \)
23
\( \displaystyle \frac{2}{30} + \frac{6}{30}i = \frac{1}{15} + \frac{1}{5}i \)
24
\( \displaystyle 10 + 5i \)
25
\( \displaystyle \frac{13}{5} + \frac{2}{5}i \)
26
\( \displaystyle \frac{9}{10} - \frac{3}{10}i \)
27
\( \displaystyle \frac{9}{5} + \frac{3}{5}i \)
28
\( \displaystyle -i \)
36
\( \displaystyle -32i \)
37
\( \displaystyle -9 \)
42
\( \displaystyle -1 \)
43
\( \displaystyle -i \)
45
\( \displaystyle -1 \)
46
\( \displaystyle 512i \)
47
\( \displaystyle \frac{i}{2048} \)
1
Grupăm termenii reali și imaginari:
\( 1 + 3i - 4 + i = (1 - 4) + (3i + i) \)
\( = -3 + 4i \).
Partea reală: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -3 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle \operatorname{Im}(z) = 4 \)
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = -3 - 4i \).
2
Desfacem paranteza:
\( 7 - 8i - (2 - 3i) = 7 - 8i - 2 + 3i \)
Grupăm: \( (7 - 2) + (-8i + 3i) \)
\( = 5 - 5i \).
Partea reală: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 5 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle \operatorname{Im}(z) = -5 \)
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = 5 + 5i \).
3
Grupăm termenii reali și imaginari:
\( 1 - 5 + (-2i - 6i) \)
\( = -4 - 8i \).
Partea reală: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = -4 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle \operatorname{Im}(z) = -8 \)
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = -4 + 8i \).
4
Desfacem paranteza:
\( 30 - 4i - 12 - 2i \)
Grupăm: \( (30 - 12) + (-4i - 2i) \)
\( = 18 - 6i \).
Partea reală: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 18 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle \operatorname{Im}(z) = -6 \)
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = 18 + 6i \).
5
Grupăm termenii reali și imaginari:
\( (12 - 8) + (-5i + 9i) \)
\( = 4 + 4i \).
Partea reală: \( \displaystyle \operatorname{Re}(z) = 4 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle \operatorname{Im}(z) = 4 \)
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = 4 - 4i \).
6
Întâi calculăm produsul \( (2 + 9i)(1 - i) \):
\( = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + 9i \cdot 1 + 9i \cdot (-i) \)
\( = 2 - 2i + 9i - 9i^2 \)
\( = 2 + 7i + 9 \) (deoarece \( i^2 = -1 \))
\( = 11 + 7i \).
Adunăm cu primul număr:
\( (3 + 7i) + (11 + 7i) = 14 + 14i \).
Partea reală: \( \displaystyle 14 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle 14 \)
Conjugatul: \( \displaystyle 14 - 14i \).
7
Întâi calculăm produsul \( (-1 + 3i)(4 - i) \):
\( = -1 \cdot 4 + (-1) \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i) \)
\( = -4 + i + 12i - 3i^2 \)
\( = -4 + 13i + 3 = -1 + 13i \).
Scădem din primul număr:
\( (10 - 8i) - (-1 + 13i) = 10 - 8i + 1 - 13i \)
\( = 11 - 21i \).
Partea reală: \( \displaystyle 11 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle -21 \)
Conjugatul: \( \displaystyle 11 + 21i \).
8
Întâi calculăm produsul \( (2i - 1)(3 + 3i) \):
\( = 2i \cdot 3 + 2i \cdot 3i - 1 \cdot 3 - 1 \cdot 3i \)
\( = 6i + 6i^2 - 3 - 3i \)
\( = 6i - 6 - 3 - 3i \)
\( = -9 + 3i \).
Scădem al treilea termen:
\( (-9 + 3i) - (5 + i) = -9 + 3i - 5 - i \)
\( = -14 + 2i \).
Partea reală: \( \displaystyle -14 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle 2 \)
Conjugatul: \( \displaystyle -14 - 2i \).
9
Întâi calculăm produsul \( (3 - 5i)(2i - 6) \):
\( = 3 \cdot 2i + 3 \cdot (-6) - 5i \cdot 2i - 5i \cdot (-6) \)
\( = 6i - 18 - 10i^2 + 30i \)
\( = 6i - 18 + 10 + 30i \)
\( = -8 + 36i \).
Adunăm cu primul termen:
\( (6i + 2) + (-8 + 36i) = 2 - 8 + (6i + 36i) \)
\( = -6 + 42i \).
Partea reală: \( \displaystyle -6 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle 42 \)
Conjugatul: \( \displaystyle -6 - 42i \).
10
Întâi calculăm produsul \( (3 - 9i)(6 + 8i) \):
\( 3 \cdot 6 = 18 \)
\( 3 \cdot 8i = 24i \)
\( -9i \cdot 6 = -54i \)
\( -9i \cdot 8i = -72i^2 = +72 \)
\( = 18 + 72 + (24i - 54i) \)
\( = 90 - 30i \).
Scădem \( 10i + 3 \):
\( 90 - 30i - 3 - 10i \)
\( = (90 - 3) + (-30i - 10i) \)
\( = 87 - 40i \).
Partea reală: \( \displaystyle 87 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle -40 \)
Conjugatul: \( \displaystyle 87 + 40i \).
11
Întâi calculăm produsul \( (2i - 8)(5 - 9i) \):
\( 2i \cdot 5 = 10i \)
\( 2i \cdot (-9i) = -18i^2 = +18 \)
\( -8 \cdot 5 = -40 \)
\( -8 \cdot (-9i) = +72i \)
\( = 18 - 40 + (10i + 72i) \)
\( = -22 + 82i \).
Adunăm \( 2i - 6 \):
\( -22 + 82i + 2i - 6 \)
\( = (-22 - 6) + (82i + 2i) \)
\( = -28 + 84i \).
Partea reală: \( \displaystyle -28 \)
Partea imaginară: \( \displaystyle 84 \)
Conjugatul: \( \displaystyle -28 - 84i \).
12
Amplificăm cu conjugatul numitorului \( 3 + 4i \):
\( \displaystyle \frac{2 - i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{(2 - i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} \)
Numerator:
\( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4i - i \cdot 3 - i \cdot 4i = 6 + 8i - 3i - 4i^2 = 6 + 5i + 4 = 10 + 5i \)
Numitor: \( 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 + 16 = 25 \)
Rezultat: \( \displaystyle \frac{10 + 5i}{25} = \frac{10}{25} + \frac{5}{25}i = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i \).
13
Amplificăm cu conjugatul numitorului \( -5 - 2i \):
\( \displaystyle \frac{8 - 9i}{2i - 5} \cdot \frac{-5 - 2i}{-5 - 2i} = \frac{(8 - 9i)(-5 - 2i)}{(2i - 5)(-5 - 2i)} \)
Numitor: \( (-5)^2 - (2i)^2 = 25 - 4i^2 = 25 + 4 = 29 \)
Numerator:
\( 8 \cdot (-5) + 8 \cdot (-2i) - 9i \cdot (-5) - 9i \cdot (-2i) \)
\( = -40 - 16i + 45i + 18i^2 \)
\( = -40 + 29i - 18 = -58 + 29i \)
Rezultat: \( \displaystyle \frac{-58 + 29i}{29} = \frac{-58}{29} + \frac{29}{29}i = -2 + i \)
14
Amplificăm cu conjugatul \( 3 + 4i \):
\( \displaystyle \frac{12 + 3i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{(12 + 3i)(3 + 4i)}{9 + 16} = \frac{(12 + 3i)(3 + 4i)}{25} \)
Numerator:
\( 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 3i \cdot 3 + 3i \cdot 4i = 36 + 48i + 9i + 12i^2 \)
\( = 36 + 57i - 12 = 24 + 57i \)
Rezultat: \( \displaystyle \frac{24 + 57i}{25} = \frac{24}{25} + \frac{57}{25}i \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle \frac{24}{25} + \frac{57}{25}i \).
15
Amplificăm cu conjugatul \( 1 - i \):
\( \displaystyle \frac{4 - 6i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(4 - 6i)(1 - i)}{1 + 1} = \frac{(4 - 6i)(1 - i)}{2} \)
Numerator:
\( 4 \cdot 1 + 4 \cdot (-i) - 6i \cdot 1 - 6i \cdot (-i) \)
\( = 4 - 4i - 6i + 6i^2 \)
\( = 4 - 10i - 6 = -2 - 10i \)
Rezultat: \( \displaystyle \frac{-2 - 10i}{2} = -1 - 5i \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle -1 - 5i \).
16
Amplificăm cu conjugatul \( -4 - 6i \):
\( \displaystyle \frac{3 + 5i}{-4 + 6i} \cdot \frac{-4 - 6i}{-4 - 6i} = \frac{(3 + 5i)(-4 - 6i)}{(-4)^2 - (6i)^2} \)
Numitor: \( 16 - 36i^2 = 16 + 36 = 52 \)
Numerator:
\( 3 \cdot (-4) + 3 \cdot (-6i) + 5i \cdot (-4) + 5i \cdot (-6i) \)
\( = -12 - 18i - 20i - 30i^2 \)
\( = -12 - 38i + 30 = 18 - 38i \)
Rezultat: \( \displaystyle \frac{18 - 38i}{52} = \frac{18}{52} - \frac{38}{52}i = \frac{9}{26} - \frac{19}{26}i \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle \frac{9}{26} - \frac{19}{26}i \).
17
Amplificăm cu conjugatul \( 3 - 3i \):
\( \displaystyle \frac{3 - 3i}{3 + 3i} \cdot \frac{3 - 3i}{3 - 3i} = \frac{(3 - 3i)^2}{(3)^2 - (3i)^2} \)
Numitor: \( 9 - 9i^2 = 9 + 9 = 18 \)
Numerator: \( (3 - 3i)^2 = 9 - 18i + 9i^2 = 9 - 18i - 9 = -18i \)
Rezultat: \( \displaystyle \frac{-18i}{18} = -i \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle -i \).
18
Întâi simplificăm fracția:
\( \displaystyle \frac{1 + i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{1 + 1} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i \).
Deci \( \displaystyle \left( i \right)^{18} \).
Deoarece \( i^4 = 1 \), iar 18 = 4·4 + 2, rezultă \( i^{18} = (i^4)^4 \cdot i^2 = 1^4 \cdot (-1) = -1 \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle -1 \).
19
Întâi calculăm fiecare fracție separat.
Prima: \( \displaystyle \frac{5}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{5(1 - 2i)}{1 + 4} = \frac{5 - 10i}{5} = 1 - 2i \)
A doua: \( \displaystyle \frac{1 - 2i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{(1 - 2i)(2 + i)}{4 + 1} = \frac{2 + i - 4i - 2i^2}{5} = \frac{2 - 3i + 2}{5} = \frac{4 - 3i}{5} \)
Scădem:
\( (1 - 2i) - \frac{4 - 3i}{5} = \frac{5(1 - 2i) - (4 - 3i)}{5} \)
\( = \frac{5 - 10i - 4 + 3i}{5} = \frac{1 - 7i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i \).
20
Întâi calculăm fiecare fracție separat.
Prima fracție:
\( \displaystyle \frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{1 + i}{1 + 1} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \)
A doua fracție:
\( \displaystyle \frac{1}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{1 - i}{1 + 1} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \)
Scădem:
\( \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i = i \)
Ridicăm la pătrat:
\( \displaystyle i^2 = -1 \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle -1 \).
21
Calculăm fiecare fracție separat.
Prima:
\( \displaystyle \frac{1}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{1 - 2i}{1 + 4} = \frac{1 - 2i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i \)
A doua:
\( \displaystyle \frac{1}{1 - 2i} \cdot \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{1 + 2i}{1 + 4} = \frac{1 + 2i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i \)
Adunăm:
\( \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i \right) = \frac{2}{5} \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle \frac{2}{5} \) (partea imaginară se anulează).
22
Pentru a afla conjugatul rezultatului, calculăm mai întâi fracția:
Amplificăm cu conjugatul numitorului \( 5 + 6i \):
\( \displaystyle \frac{2 + 3i}{5 - 6i} \cdot \frac{5 + 6i}{5 + 6i} = \frac{(2 + 3i)(5 + 6i)}{25 + 36} = \frac{10 + 12i + 15i + 18i^2}{61} \)
\( = \frac{10 + 27i - 18}{61} = \frac{-8 + 27i}{61} \)
Conjugatul rezultatului: \( \displaystyle \overline{z} = \frac{-8}{61} - \frac{27}{61}i \).
23
Amplificăm cu conjugatul numitorului \( 9 + 3i \):
\( \displaystyle \frac{2 - 2i}{9 - 3i} \cdot \frac{9 + 3i}{9 + 3i} = \frac{(2 - 2i)(9 + 3i)}{81 + 9} = \frac{18 + 6i - 18i - 6i^2}{90} \)
\( = \frac{18 - 12i + 6}{90} = \frac{24 - 12i}{90} = \frac{12(2 - i)}{90} = \frac{2 - i}{7.5} \)
Simplificăm corect:
\( \frac{24 - 12i}{90} = \frac{24}{90} - \frac{12}{90}i = \frac{4}{15} - \frac{2}{15}i \).
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = \frac{4}{15} + \frac{2}{15}i \).
24
Amplificăm cu conjugatul \( 1 + i \):
\( \displaystyle \frac{10 - 15i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(10 - 15i)(1 + i)}{1 + 1} = \frac{10 + 10i - 15i - 15i^2}{2} \)
\( = \frac{10 - 5i + 15}{2} = \frac{25 - 5i}{2} = \frac{25}{2} - \frac{5}{2}i \).
Conjugatul rezultatului: \( \displaystyle \overline{z} = \frac{25}{2} + \frac{5}{2}i \).
25
Amplificăm cu conjugatul \( 2 + i \):
\( \displaystyle \frac{4 - 5i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{(4 - 5i)(2 + i)}{4 + 1} = \frac{8 + 4i - 10i - 5i^2}{5} \)
\( = \frac{8 - 6i + 5}{5} = \frac{13 - 6i}{5} = \frac{13}{5} - \frac{6}{5}i \).
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = \frac{13}{5} + \frac{6}{5}i \).
26
Numitorul este \( 3 - i \). Amplificăm cu conjugatul \( 3 + i \):
\( \displaystyle \frac{3 + 5i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i} = \frac{(3 + 5i)(3 + i)}{9 + 1} = \frac{9 + 3i + 15i + 5i^2}{10} \)
\( = \frac{9 + 18i - 5}{10} = \frac{4 + 18i}{10} = \frac{2}{5} + \frac{9}{5}i \).
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = \frac{2}{5} - \frac{9}{5}i \).
27
Calculăm fiecare fracție separat.
Prima:
\( \displaystyle \frac{6 + 3i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(6 + 3i)(1 + i)}{2} = \frac{6 + 6i + 3i + 3i^2}{2} = \frac{6 + 9i - 3}{2} = \frac{3 + 9i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{9}{2}i \)
A doua:
\( \displaystyle \frac{1 + 3i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{(1 + 3i)(2 + i)}{4 + 1} = \frac{2 + i + 6i + 3i^2}{5} = \frac{2 + 7i - 3}{5} = \frac{-1 + 7i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i \)
Adunăm:
\( \left( \frac{3}{2} + \frac{9}{2}i \right) + \left( -\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i \right) = \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{9}{2} + \frac{7}{5} \right)i \)
\( = \left( \frac{15 - 2}{10} \right) + \left( \frac{45 + 14}{10} \right)i = \frac{13}{10} + \frac{59}{10}i \).
Conjugatul: \( \displaystyle \overline{z} = \frac{13}{10} - \frac{59}{10}i \).
28
Puterea lui i se repetă la fiecare 4:
\( i^1 = i \)
\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^3 \cdot i = -i \cdot i = -i^2 = 1 \)
Deci \( i^3 = -i \).
29
Puterea lui i se repetă la fiecare 4:
\( i^5 = i^{4+1} = (i^4) \cdot i = 1 \cdot i = i \).
Deci \( i^5 = i \).
30
Puterea lui i se repetă la fiecare 4:
\( i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1 \).
Deci \( i^8 = 1 \).
31
Reducem exponentul modulo 4:
133 ÷ 4 = 33 de ori cu rest 1 (133 = 4·33 + 1)
\( i^{133} = i^{4·33 + 1} = (i^4)^{33} \cdot i = 1^{33} \cdot i = i \).
Deci \( i^{133} = i \).
32
Reducem exponentul modulo 4:
2024 ÷ 4 = 506 exact (fără rest)
\( i^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1 \).
Deci \( i^{2024} = 1 \).
33
Pentru exponent negativ: \( i^{-180} = \frac{1}{i^{180}} \).
180 ÷ 4 = 45 exact
\( i^{180} = (i^4)^{45} = 1^{45} = 1 \)
\( i^{-180} = \frac{1}{1} = 1 \).
Deci \( i^{-180} = 1 \).
34
248 ÷ 4 = 62 exact
\( i^{248} = (i^4)^{62} = 1^{62} = 1 \).
Deci \( i^{248} = 1 \).
35
9 ÷ 4 = 2 cu rest 1
\( i^9 = i^{8+1} = (i^4)^2 \cdot i = 1^2 \cdot i = i \).
Deci \( i^9 = i \).
36
\( (2i)^5 = 2^5 \cdot i^5 \)
\( 2^5 = 32 \)
\( i^5 = i^{4+1} = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i \)
\( (2i)^5 = 32i \).
37
\( (\sqrt{3} i)^8 = (\sqrt{3})^8 \cdot i^8 \)
\( (\sqrt{3})^8 = (3^{1/2})^8 = 3^4 = 81 \)
\( i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1 \)
\( (\sqrt{3} i)^8 = 81 \cdot 1 = 81 \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle 81 \).
38
249 ÷ 4 = 62 cu rest 1
\( i^{249} = i^{248 + 1} = (i^4)^{62} \cdot i = 1 \cdot i = i \).
Deci \( i^{249} = i \).
39
89 ÷ 4 = 22 cu rest 1
\( i^{89} = i^{88 + 1} = (i^4)^{22} \cdot i = 1 \cdot i = i \).
Deci \( i^{89} = i \).
40
Puterea lui -i:
\( (-i)^1 = -i \)
\( (-i)^2 = (-i)(-i) = i^2 = -1 \)
\( (-i)^3 = (-i)^2 \cdot (-i) = -1 \cdot (-i) = i \)
\( (-i)^4 = (-i)^3 \cdot (-i) = i \cdot (-i) = -i^2 = 1 \)
Ciclul: -i, -1, i, 1.
19 ÷ 4 = 4 cu rest 3
\( (-i)^{19} = (-i)^{16 + 3} = [(-i)^4]^4 \cdot (-i)^3 = 1^4 \cdot i = i \).
Deci \( (-i)^{19} = i \).
41
4042 ÷ 4 = 1010 cu rest 2
\( i^{4042} = i^{4040 + 2} = (i^4)^{1010} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 \).
Deci \( i^{4042} = -1 \).
42
222 ÷ 4 = 55 cu rest 2
\( (-i)^{222} = (-i)^{220 + 2} = [(-i)^4]^{55} \cdot (-i)^2 = 1^{55} \cdot (-1) = -1 \).
Deci \( (-i)^{222} = -1 \).
43
149 ÷ 4 = 37 cu rest 1
\( (-i)^{149} = (-i)^{148 + 1} = [(-i)^4]^{37} \cdot (-i)^1 = 1^{37} \cdot (-i) = -i \).
Deci \( (-i)^{149} = -i \).
44
87 ÷ 4 = 21 cu rest 3
\( (-i)^{87} = (-i)^{84 + 3} = [(-i)^4]^{21} \cdot (-i)^3 = 1^{21} \cdot i = i \).
Deci \( (-i)^{87} = i \).
45
6 ÷ 4 = 1 cu rest 2
\( (-i)^6 = (-i)^{4 + 2} = (-i)^4 \cdot (-i)^2 = 1 \cdot (-1) = -1 \).
Deci \( (-i)^6 = -1 \).
46
\( (-2i)^9 = (-2)^9 \cdot i^9 \)
\( (-2)^9 = -512 \)
\( i^9 = i^{8+1} = (i^4)^2 \cdot i = 1 \cdot i = i \)
\( (-2i)^9 = -512 \cdot i = -512i \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle -512i \).
47
\( (-2i)^{-11} = \frac{1}{(-2i)^{11}} \)
\( (-2i)^{11} = (-2)^{11} \cdot i^{11} \)
\( (-2)^{11} = -2048 \)
\( i^{11} = i^{8+3} = i^3 = -i \)
\( (-2i)^{11} = -2048 \cdot (-i) = 2048i \)
\( (-2i)^{-11} = \frac{1}{2048i} \)
Raționalizăm: \( \frac{1}{2048i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-2048i^2} = \frac{-i}{2048} = \frac{i}{-2048} = -\frac{i}{2048} \).
Deci rezultatul este \( \displaystyle -\frac{i}{2048} \).