Operatii cu numere complexe
Adunarea și Scăderea
Se adună partea reală cu partea reală și partea imaginară cu partea imaginară. La fel și în cazul scăderii.
- \(\displaystyle (2 + 3i) + (4 - 2i) = (2 + 4) + (3i - 2i) = 6 + i \)
- \(\displaystyle (5 + 7i) - (3 + 2i) = (5 - 3) + (7i - 2i) = 2 + 5i \)
Înmulțirea
Se înmulțesc la fel ca ecuațiile.
Algoritmul de desfacere a parantezelor: \( (a + b)(c + d) \), aplicăm regula distributivă, adica inmultim fiecare termen din prima paranteza cu fiecare termen din a doua paranteza: \[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
\( (2 + 3i) \cdot (4 - i) \)
\(= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i) \)
\( = 8 - 2i + 12i - 3i^2 \)
\( = 8 + 10i - 3(-1) \)
\(= 8 + 10i + 3 \)
\(= 11 + 10i \)
Împărțirea (fractie)
Se amplifică cu conjugatul numitorului.
\(\displaystyle \frac{5 + 2i}{3 - i} \)
\(\displaystyle = \frac{5 + 2i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i} \)
\(\displaystyle = \frac{(5 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} \)
\(\displaystyle = \frac{15 + 5i + 6i + 2i^2}{3^2 - i^2} \)
\(\displaystyle = \frac{15 + 11i - 2}{9 + 1} \)
\(\displaystyle = \frac{13 + 11i}{10} \)
\(\displaystyle = \frac{13}{10} + \frac{11}{10}i \)
Ridicarea la Putere
Pentru ridicarea la puteri întregi mari a numerelor pur imaginare (\(i\)), urmăm pașii:- Dacă puterea este pară, descompunem în puterea 2 și calculăm separat restul. Rezultatul este \((-1)\) ridicat la puterea obținută.
- Dacă puterea este impară, scoatem un factor \(i\) și tratăm puterea rămasă ca număr par. Adică, \(i^n = i^{n-1} \cdot i\).
Cazul par:
\( i^{10} = (i^2)^5 = (-1)^5 = -1 \)
Cazul impar:
\( i^7 = i^6 \cdot i = (i^2)^3 \cdot i = (-1)^3 \cdot i = -i \)