Numere complexe: Ecuații de gradul 1
Ecuații nedefinite
- Dacă \( z \) este reprezentat prin partea reală și partea imaginară, rezolvăm printr-un sistem de ecuații.
Exemplu: determinați \( z = x + yi \), dacă: \( x + 2 - yi = 8 + 4i \)
Rezolvare:
Separăm partea reală și partea imaginară în două ecuații. Egalam partea reala din stanga cu partea reala din dreapta, si in a doua ecuatie egalam partea imaginara din stanga cu partea imaginara din dreapta: \[ \begin{cases} x + 2 = 8 \\ -y = 4 \end{cases} \] Rezolvăm sistemul: \[ \begin{cases} x = 6 \\ y = -4 \end{cases} \] Rezultatul: \( z = 6 - 4i \) - Dacă \( z \) este definit clar, îl rezolvăm ca o ecuație normală, izolându-l în stânga și ducând restul în dreapta.
Exemplu: să se rezolve ecuația: \( (1 + 3i)z = 10 + 10i \)
Rezolvare:
Izolăm \( z \): \[ z = \frac{10 + 10i}{1 + 3i} \] Se amplifică cu conjugatul numitorului: \[ z = \frac{(10 + 10i)(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)} \] Desfacem parantezele: \[ z = \frac{10 - 30i + 10i - 30i^2}{1 - 9i^2} \] Știm că \( i^2 = -1 \), deci: \[ z = \frac{10 - 20i + 30}{1 + 9} = \frac{40 - 20i}{10} = \frac{40}{10} - \frac{20i}{10} \] Simplificăm: \[ z = 4 - 2i \] Soluția este: \( z = 4 - 2i \)
Exerciții
1
Determinați \( z=a+bi \):
\(a + 1 + 2bi = 6 - 2i\)
\(a + 1 + 2bi = 6 - 2i\)
2
Determinați \( z=a+bi \):
\(a + 5 - 2i = 9 + 4bi\)
\(a + 5 - 2i = 9 + 4bi\)
3
Determinați \( z=a+bi \):
\(-1 + 2a + 6i = 3 + bi\)
\(-1 + 2a + 6i = 3 + bi\)
4
Determinați \( z=a+bi \):
\((a + bi)(1 + i) = 2 + i\)
\((a + bi)(1 + i) = 2 + i\)
5
Determinați \( z=a+bi \):
\((2a + bi)/(1 + 2i) = 5i\)
\((2a + bi)/(1 + 2i) = 5i\)
6
Determinați \( z=a+bi \):
\((a + i)(b - i) = 1 - i\)
\((a + i)(b - i) = 1 - i\)
7
Calculați z:
\((1 + 3i)z = 2 - i\)
\((1 + 3i)z = 2 - i\)
8
Calculați z:
\(3(z + 5i) = 4\)
\(3(z + 5i) = 4\)
9
Calculați z:
\((5 - 4i)z = (3 - i)(2 + i)\)
\((5 - 4i)z = (3 - i)(2 + i)\)
10
Calculați z:
\(z(5i - 2) = 2i + 1\)
\(z(5i - 2) = 2i + 1\)
11
Calculați z:
\(4(5i - 2) - z = 5i + 2\)
\(4(5i - 2) - z = 5i + 2\)
12
Calculați z:
\(z(1 - i)^2 = 3i\)
\(z(1 - i)^2 = 3i\)
13
Determinați \( z=x+yi \):
\(3x - 2y = 10 - 9i\)
\(3x - 2y = 10 - 9i\)
14
Determinați \( z=x+yi \):
\(6 - x - 2(3i + 8) = yi\)
\(6 - x - 2(3i + 8) = yi\)
15
Determinați \( z=x+yi \):
\(9x - 10y i = (3 + i)(2 - i)\)
\(9x - 10y i = (3 + i)(2 - i)\)
16
Determinați \( z=x+yi \):
\(x + 3 - 2y i = 8(2i - 5)\)
\(x + 3 - 2y i = 8(2i - 5)\)
17
Determinați \( z=x+yi \):
\(2x + 6 - 5yi = 3(2i - 3) + yi\)
\(2x + 6 - 5yi = 3(2i - 3) + yi\)