Item 3 - toate variantele posibile

Exerciții

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{1}{27}\right)^{0,5x-1} = 9 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left( \frac{4}{9} \right)^{\sqrt{x}} = (2,25)^{\sqrt{x} - 1} \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \left(\frac{1}{64}\right)^{x+2}=8 \cdot 2^{-x}\)

Determinați soluțiile reale ale ecuației: \( 2^{x+3} = 16 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( 4^{-3x-6} = 2^{-x} \cdot 8 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} + \frac{x+1}{x+2} = 1\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{2 \cdot \lg x}{\lg(5x-4)} = 1 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{x+2}{x-2}=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{1}{x^{2}-x}=1-\frac{1}{x}\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\displaystyle \frac{3x^2 + x}{12x + 4} = 0\)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{-x^2+6} = \sqrt{5x+10} \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{5x-12} \cdot \sqrt{x} = 3\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \(\sqrt{7 - 3x} = x + 7\)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \sqrt{4-x} \cdot (x^2 - 3x - 10) = 0 \).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \sqrt{8 x-x^{2}-7}=3-3 x\)

Răspunsuri

\( S = \left\{ \frac{1}{4} \right\} \)

\(S=\{-3\}\)

\( x = 1 \)

\( S = \{-3\} \)

\( S = \{4\} \)

\(S=\{-1\}\)

\(S=\{2\}\)

\(S=\{0\}\)

\(S=\{-1\}\)

\(S=\{3\}\)

\( S = \{-2, 4\} \)

\( S=\{1\} \)

Rezolvări

Pasul 1: Aduce la aceeași bază:
\(\displaystyle (2^{-6})^{x+2} = 2^3 \cdot 2^{-x}\)
\(\displaystyle 2^{-6x-12} = 2^{3-x}\)
Pasul 2: Egalează exponenții:
\(\displaystyle -6x - 12 = 3 - x\)
Pasul 3: Rezolvă ecuația:
\(\displaystyle -5x = 15\)
\(\displaystyle x = -3\)

Pasul 1: Factorizăm numitorul din partea dreaptă:
\(\displaystyle \frac{x+2}{x-2} = \frac{x^2}{(x-2)(x+2)}\)
Pasul 2: Înmulțim ambele părți cu \( (x-2)(x+2) \), cu condiția ca \( x \neq 2 \) și \( x \neq -2 \):
\(\displaystyle (x+2)^2 = x^2\)
\(\displaystyle x^2 + 4x + 4 = x^2\)
\(\displaystyle 4x + 4 = 0\)
\(\displaystyle 4x = -4\)
\(\displaystyle x = -1\)
Pasul 3: Verificăm condițiile de existență: \( x \neq 2 \) și \( x \neq -2 \). Soluția \( x = -1 \) respectă aceste condiții.

Pasul 1: Aduce la același numitor în partea dreaptă:
\(\displaystyle \frac{1}{x^2 - x} = \frac{x-1}{x}\)
Pasul 2: Observăm că \( x^2 - x = x(x-1) \), deci putem scrie:
\(\displaystyle \frac{1}{x(x-1)} = \frac{x-1}{x}\)
Pasul 3: Înmulțim ambele părți cu \( x(x-1) \), cu condiția ca \( x \neq 0 \) și \( x \neq 1 \):
\(\displaystyle 1 = (x-1)^2\)
\(\displaystyle 1 = x^2 - 2x + 1\)
\(\displaystyle x^2 - 2x = 0\)
\(\displaystyle x(x-2) = 0\)
Deci, \( x = 0 \) sau \( x = 2 \).
Pasul 4: Verificăm condițiile de existență: \( x \neq 0 \) și \( x \neq 1 \).
Soluția \( x = 0 \) nu este validă, deoarece nu respectă condiția \( x \neq 0 \). Soluția \( x = 2 \) este validă, deoarece respectă condițiile.

Pasul 1: Condițiile de existență a radicalilor:
\(\displaystyle -x^2 + 6 \geq 0\) și \(\displaystyle 5x + 10 \geq 0\)
\(\displaystyle x^2 \leq 6\) și \(\displaystyle x \geq -2\)
\(\displaystyle -\sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6}\) și \(\displaystyle x \geq -2\)
Deci \(\displaystyle -2 \leq x \leq \sqrt{6}\)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle -x^2 + 6 = 5x + 10\)
\(\displaystyle x^2 + 5x + 4 = 0\)
\(\displaystyle (x+1)(x+4) = 0\)
\(\displaystyle x = -1\) sau \(\displaystyle x = -4\)
Pasul 3: Verificăm condițiile:
Pentru \( x = -1 \): respectă condiția \( -2 \leq x \leq \sqrt{6} \). Deci, e solutie.
Pentru \( x = -4 \): nu respectă condiția \( -2 \leq x \leq \sqrt{6} \).

Pasul 1: Condițiile de existență a radicalilor:
\(\displaystyle 5x - 12 \geq 0\) și \(\displaystyle x \geq 0\)
\(\displaystyle x \geq \frac{12}{5}\) și \(\displaystyle x \geq 0\)
Deci, \( x \geq \frac{12}{5} \)
Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle (5x - 12) \cdot x = 9\)
\(\displaystyle 5x^2 - 12x = 9\)
\(\displaystyle 5x^2 - 12x - 9 = 0\)
Pasul 3: Rezolvăm ecuația de gradul al doilea:
\(\displaystyle x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(5)(-9)}}{2(5)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 180}}{10} = \frac{12 \pm \sqrt{324}}{10} = \frac{12 \pm 18}{10}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{12 - 18}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{12 + 18}{10} = \frac{30}{10} = 3\)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = -\frac{3}{5} \): nu respectă condiția \( x \geq \frac{12}{5} \).
Pentru \( x = 3 \): respectă condiția \( x \geq \frac{12}{5} \).
Verificăm ecuația inițială: \( \sqrt{5(3)-12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \). Deci, \( x = 3 \) este o soluție.

Pasul 1: Condiția de existență a radicalului:
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 \geq 0\)
\(\displaystyle x^2 - 8x + 7 \leq 0\)
\(\displaystyle (x-1)(x-7) \leq 0\)
Deci, \( x \in [1, 7] \)
Pasul 2: Pentru ca radicalul să fie egal cu \( 3-3x \), trebuie ca \( 3-3x \geq 0 \), deci \( x \leq 1 \).
Pasul 3: Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației:
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 = (3-3x)^2\)
\(\displaystyle 8x - x^2 - 7 = 9 - 18x + 9x^2\)
\(\displaystyle 10x^2 - 26x + 16 = 0\)
\(\displaystyle 5x^2 - 13x + 8 = 0\)
\(\displaystyle x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(5)(8)}}{2(5)} = \frac{13 \pm \sqrt{169-160}}{10} = \frac{13 \pm 3}{10} \)
\(\displaystyle x_1 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}, x_2 = 1 \)
Pasul 4: Verificăm soluțiile:
Pentru \( x = 1 \): respectă condițiile \( x \in [1, 7] \) și \( x \leq 1 \). Verificăm în ecuația inițială: \( \sqrt{8(1) - (1)^2 - 7} = \sqrt{0} = 0 \) și \( 3 - 3(1) = 0 \). Deci, \( x = 1 \) este o soluție.
Pentru \( x = 8/5 \): \( 8/5 \leq 1 \) nu e adevarat. Deci nu e solutie.

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări