Șiruri

Definiție

Un șir este o succesiune ordonată de numere, fiecare termen fiind notat cu \( a_n \) sau \( x_n \), unde \( n \) reprezintă poziția termenului în șir. Un șir poate fi definit printr-o formulă predefinită care exprimă termenul general \( a_n \) în funcție de \( n \).

Exemplu de șir cu formulă predefinită

Considerăm șirul definit de relația:

\[ a_n = 2n + 3 \]

Pentru a calcula primii termeni ai șirului, înlocuim pe \( n \) cu valorile 1, 2, 3, și așa mai departe:

Primul termen: \( a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \)
Al doilea termen: \( a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 7 \)
Al treilea termen: \( a_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9 \)
Al patrulea termen: \( a_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 11 \)

Astfel, primii termeni ai șirului sunt: \( 5, 7, 9, 11, \dots \).

Exerciții Rezolvate

Exercițiul 1

Fie șirul definit prin formula:

\[ a_n = n^2 - 3n + 2 \]

Determinați primii 5 termeni ai șirului.

Rezolvare:

Pentru \( n = 1 \):
Pentru \( n = 2 \):
Pentru \( n = 3 \):
Pentru \( n = 4 \):
Pentru \( n = 5 \):

Primii 5 termeni ai șirului sunt: \( 0, 0, 2, 6, 12 \).

Exercițiul 2

Fie șirul definit de:

\[ a_n = 3^n - n \]

Calculați al treilea termen al șirului.

Rezolvare:

Înlocuim \( n = 3 \) în formula dată:

\[ a_3 = 3^3 - 3 = 27 - 3 = 24 \]

Al treilea termen al șirului este: \( 24 \).

Exerciții

Fie șirul definit prin formula \( a_n = 5n - 2 \). Determinați primii 6 termeni ai șirului.

Un șir este definit de relația \( a_n = n^2 + 4 \). Calculați al cincilea termen al șirului.

Fie șirul \( a_n = 3n - 7 \). Determinați primii 5 termeni și indicați dacă șirul este crescător.

Șirul este dat de formula \( a_n = 4n + 1 \). Care este termenul al 10-lea al șirului?

Fie șirul definit prin \( a_n = n^2 - 5n + 6 \). Determinați primii 4 termeni.

Un șir este definit de relația \( a_n = 7 - 2n \). Care este primul termen pozitiv al șirului?

Fie șirul \( a_n = 3^{n-1} \). Determinați primii 5 termeni ai șirului.

Șirul este dat de formula \( a_n = \frac{n+1}{n} \). Calculați primii 4 termeni.

Fie șirul definit prin \( a_n = n^3 - 4n \). Determinați al treilea și al patrulea termen.

Un șir este definit de relația \( a_n = 10 - 3n \). Care este primul termen pozitiv al șirului?

Răspunsuri

\( 3, 8, 13, 18, 23, 28 \)

\( a_5 = 29 \)

\( -4, -1, 2, 5, 8 \) (crescător)

\( a_{10} = 41 \)

\( 2, 0, 0, 2 \)

\( a_1 = 5 \)

\( 1, 3, 9, 27, 81 \)

\( 2, \displaystyle \frac{3}{2}, \displaystyle \frac{4}{3}, \displaystyle \frac{5}{4} \)

\( a_3 = 15, \ a_4 = 48 \)

\( a_1 = 7 \)

Rezolvări

Calculăm termenii succesivi:
\( a_1 = 5 \cdot 1 - 2 = 3 \)
\( a_2 = 5 \cdot 2 - 2 = 8 \)
\( a_3 = 5 \cdot 3 - 2 = 13 \)
\( a_4 = 5 \cdot 4 - 2 = 18 \)
\( a_5 = 5 \cdot 5 - 2 = 23 \)
\( a_6 = 5 \cdot 6 - 2 = 28 \)
Răspuns: \( 3, 8, 13, 18, 23, 28 \)

Înlocuim \( n = 5 \) în formula dată:
\( a_5 = 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29 \)
Răspuns: \( a_5 = 29 \)

Calculăm primii termeni:
\( a_1 = 3 \cdot 1 - 7 = -4 \)
\( a_2 = 3 \cdot 2 - 7 = -1 \)
\( a_3 = 3 \cdot 3 - 7 = 2 \)
\( a_4 = 3 \cdot 4 - 7 = 5 \)
\( a_5 = 3 \cdot 5 - 7 = 8 \)
Termenii: \( -4, -1, 2, 5, 8 \)
Deoarece fiecare termen este cu 3 mai mare decât precedentul, șirul este crescător.

Înlocuim \( n = 10 \) în formula:
\( a_{10} = 4 \cdot 10 + 1 = 40 + 1 = 41 \)
Răspuns: \( a_{10} = 41 \)

Calculăm termenii:
\( a_1 = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 \)
\( a_2 = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \)
\( a_3 = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \)
\( a_4 = 4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \)
Răspuns: \( 2, 0, 0, 2 \)

Calculăm primii termeni până găsim primul pozitiv:
\( a_1 = 7 - 2 \cdot 1 = 5 \) (pozitiv)
Răspuns: \( a_1 = 5 \)

Calculăm termenii:
\( a_1 = 3^{1-1} = 3^0 = 1 \)
\( a_2 = 3^{2-1} = 3^1 = 3 \)
\( a_3 = 3^{3-1} = 3^2 = 9 \)
\( a_4 = 3^{4-1} = 3^3 = 27 \)
\( a_5 = 3^{5-1} = 3^4 = 81 \)
Răspuns: \( 1, 3, 9, 27, 81 \)

Calculăm termenii:
\( a_1 = \displaystyle \frac{1+1}{1} = 2 \)
\( a_2 = \displaystyle \frac{2+1}{2} = \displaystyle \frac{3}{2} \)
\( a_3 = \displaystyle \frac{3+1}{3} = \displaystyle \frac{4}{3} \)
\( a_4 = \displaystyle \frac{4+1}{4} = \displaystyle \frac{5}{4} \)
Răspuns: \( 2, \displaystyle \frac{3}{2}, \displaystyle \frac{4}{3}, \displaystyle \frac{5}{4} \)

Calculăm:
\( a_3 = 3^3 - 4 \cdot 3 = 27 - 12 = 15 \)
\( a_4 = 4^3 - 4 \cdot 4 = 64 - 16 = 48 \)
Răspuns: \( a_3 = 15, \ a_4 = 48 \)

Calculăm primii termeni până găsim primul pozitiv:
\( a_1 = 10 - 3 \cdot 1 = 7 \) (pozitiv)
Răspuns: \( a_1 = 7 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții